Đề bài

Một bánh xe có dạng hình tròn bán kính 20cm lăn đến bức tường hợp với mặt đất một góc \(60^\circ \). Hãy tính khoảng cách ngắn nhất từ tâm bánh xe đến góc tường.

Phương pháp giải

Giải thích đề bài: Khi bánh xe chạm tới bức tường thì không thể di chuyển vào thêm được nữa. Điều này có nghĩa khoảng cách của tâm bánh xe đến góc tường ngắn nhất là khi bánh xe tiếp xúc với bức tường và mặt đất.

Khi đó mặt tường và mặt đất là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn biểu diễn bánh xe.

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để tính số đo góc OAB.

Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông để tính khoảng cách ngắn nhất từ tâm bánh xe đến góc tường.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: OA = OC = 20cm.

Khi bánh xe chạm tới bức tường thì không thể di chuyển vào thêm được nữa. Điều này có nghĩa khoảng cách của tâm bánh xe đến góc tường ngắn nhất là khi bánh xe tiếp xúc với bức tường và mặt đất.

Gọi AB và AC là hai đoạn biểu diễn mặt tường và mặt đất tiếp xúc với đường tròn (O), khi đó AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A của đường tròn (O).

Vì \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) nên \(\widehat {BAO} = \widehat {CAO} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2}.60^\circ  = 30^\circ \) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Xét tam giác ABO vuông tại B (vì AB là tiếp tuyến của (O) nên \(AB \bot OB\)), ta có:

\(\sin BAO = \frac{{OB}}{{AO}}\) (tỉ số lượng giác trong tam giác vuông)

Suy ra \(AO = \frac{{OB}}{{\sin BAO}} = \frac{{20}}{{\sin 30^\circ }} = 40\left( {cm} \right)\)

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ bánh xe đến góc tường là 40cm.