Đề bài

Tính giá trị của \(A = \frac{1}{{2\sqrt 1  + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2  + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{2025\sqrt {2024}  + 2024\sqrt {2025} }}\).

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \(k\sqrt {k - 1}  + \left( {k - 1} \right)\sqrt k {\mkern 1mu}  = \sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k - 1} } \right)\) với \(k \ge 1\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có:

\(\begin{array}{l}k\sqrt {k - 1}  + \left( {k - 1} \right)\sqrt k {\mkern 1mu} \\ = \sqrt k .\sqrt {k - 1} .\left( {\sqrt k  + \sqrt {k - 1} } \right)\end{array}\)

\( = \sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k - 1} } \right)\) với \(k \ge 1\).

Suy ra

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{k\sqrt {k - 1}  + \left( {k - 1} \right)\sqrt k }}\\ = \frac{1}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k - 1} } \right)}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt k  - \sqrt {k - 1} } \right)}}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k - 1} } \right)\left( {\sqrt k  - \sqrt {k - 1} } \right)}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{\sqrt k  - \sqrt {k - 1} }}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} }}\\ = \frac{{\sqrt k  - \sqrt {k - 1} }}{{\sqrt k .\sqrt {k - 1} }}\\ = \frac{1}{{\sqrt {k - 1} }} - \frac{1}{{\sqrt k }}\end{array}\) 

Thay lại vào A ta được:

\(A = \frac{1}{{2\sqrt 1  + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2  + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{2025\sqrt {2024}  + 2024\sqrt {2025} }}\)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = {\mkern 1mu} \left( {\frac{1}{{\sqrt 1 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + ..... + \left( {\frac{1}{{\sqrt {2024} }} - \frac{1}{{\sqrt {2025} }}} \right)\)

\({\mkern 1mu}  = 1 - \frac{1}{{\sqrt {2025} }} = 1 - \frac{1}{{45}} = \frac{{44}}{{45}}\).

Vậy \(A = \frac{{44}}{{45}}\).