Đề bài

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (O) (C khác A và B). Kẻ CH vuông góc với AB tại H.

a) Chứng minh \(\Delta ABC\) vuông tại C và \(C{H^2} = AC.BC.\sin A.\cos A\).

b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia BC ở D. Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh đường thẳng IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt IC ở K. Xác định vị trí điểm C trên đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABKI nhỏ nhất.

Phương pháp giải

a) Chứng minh tam giác ACH và tam giác CHB vuông nên viết các hệ thức lượng liên quan đến cạnh CH.

Chứng minh \(\widehat {CAB} = \widehat {HCB}\) nên \(\cos \widehat {CAB} = \cos \widehat {HCB}\) suy ra điều phải chứng minh.

b) Chứng minh \(\Delta IAO = \Delta ICO\left( {c.c.c} \right)\) suy ra \(\widehat {IOA} = \widehat {ICO} = 90^\circ \) hay \(IC \bot OC\) tại C.

c) Chứng minh \(\Delta AIO = \Delta CIO\) và \(\Delta KCO = \Delta KBO\).

Biểu diễn \({S_{AIKB}}\) theo \({S_{\Delta IOK}}\).

Suy ra diện tích nhỏ nhất của \({S_{AIKB}}\) theo R.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vì AB là đường kính của (O) và \(C \in \left( O \right)\) suy ra \(\Delta ABC\) vuông tại C.

Vì CH vuông góc với AB tại H nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(CH = AC.\sin A\) (tam giác ACH vuông tại H)

và \(CH = BC.\cos \widehat {HCB}\) (tam giác CHB vuông tại H).

Mà \(\widehat {CAB} = \widehat {HCB}\) (cùng phụ với \(\widehat {ACH}\)) nên \(\cos \widehat {CAB} = \cos \widehat {HCB}\) hay \(\cos A = \cos \widehat {HCB}\). Do đó \(CH = BC.\cos A\).

Do đó \(C{H^2} = \left( {AC.\sin A} \right)\left( {BC.\cos A} \right) = AC.BC.\sin A.\cos A\).

b) Ta có \(CI = IA = ID\) (đường trung truyến trong tam giác vuông)

Xét tam giác IAO và tam giác ICO có:

AO = OB = R

IA = IC (cmt)

OI chung

Suy ra \(\Delta IAO = \Delta ICO\left( {c.c.c} \right)\), do đó \(\widehat {IOA} = \widehat {ICO} = 90^\circ \) hay \(IC \bot OC\) tại C.

Vậy IC là tiếp tuyến của (O) tại điểm C.

c) Theo ý b, ta có \(\Delta AIO = \Delta CIO\) (c.c.c).

Chứng minh tương tự, ta có \(\Delta KCO = \Delta KBO\) (c.c.c).

Mà \({S_{AIKB}} = {S_{\Delta AIO}} + {S_{\Delta CIO}} + {S_{\Delta COK}} + {S_{\Delta KOB}} = 2\left( {{S_{\Delta CIO}} + {S_{\Delta COK}}} \right)\)

Suy ra \({S_{AIKB}} = 2.{S_{\Delta IOK}} = OC.IK = R.IK \ge R.AB = R.2R = 2{R^2}\)

Dấu “=” xảy ra khi IK = AB. Khi đó C là điểm chính giữa $\overset\frown{AB}$.

Vậy \({S_{AIKB}}\) có giá trị lớn nhất là \(2{R^2}\) khi C là điểm chính giữa $\overset\frown{AB}$.