Đề bài

Để rào một khu đất có hai phần hình chữ nhật cho gia đình trồng hoa kiểng, một bác nông dân sử dụng 15 000 000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E trước khuôn viên nhà dọc theo một con sông (như hình vẽ). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng/mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song với nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng/mét.

Tính diện tích đất lớn nhất bác nông dân rào được.

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi độ dài của hàng rào song song với bờ sông là \(x\left( {m,x > 0} \right)\);

độ dài của mỗi hàng rào trong ba hàng rào song song nhau là \(y\left( {m,y > 0} \right)\).

Diện tích đất mà bác nông dân rào được là: \(xy\left( {{m^2}} \right)\).

Tổng chi phí là 15 000 000 đồng nên ta có phương trình:

\(60\,000.x + 50\,000.3y = 15\,000\,000\)

hay \(6x + 15y = 1500\) (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:

\(6x + 15y \ge 2\sqrt {6x.15y}  = 2\sqrt {90xy} \) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(2\sqrt {90xy}  \le 1500\)

\(\sqrt {90xy}  \le 750\) (nhân cả hai vế với \(\frac{1}{2}\))

\(90xy \le {750^2}\) hay \(90xy \le 562\,500\)

Suy ra \(xy \le \frac{{562\,500}}{{90}}\) hay \(xy \le 6250\)

Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của \(xy\). Do đó \(xy\) lớn nhất bằng \(6\,250\).

Vậy diện tích lớn nhất mà bác nông dân có thể rào là \(6\,250{m^2}\).