Cho đường tròn (O;R) , (O;R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’). Vẽ các đường kính AOB, AO’C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.
a) Tứ giác BDCE là hình gì?
b) Gọi I là giao điểm của DA và đường tròn (O’). Chứng minh rằng ba điểm E, I, C thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
a) Chứng minh \(\Delta ODK = \Delta OEK\left( {ch - cgv} \right)\) suy ra DK = KE.
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình thoi.
b) Dựa vào tính chất của hình thoi suy ra BD // CE
Chứng minh $\Delta BDA\backsim \Delta CIA$ suy ra \(\widehat {BDA} = \widehat {CIA}\) dẫn đến BD // CI
Từ tiên đề Euclid suy ra ba điểm E, I, C thẳng hàng.
c) Chứng minh tam giác ACI vuông tại I dựa vào định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Xét tam giác DIE suy ra \(\widehat {KDI} = \widehat {KID}\)
Chứng minh \(\widehat {O'IA} = \widehat {CEK}\)
Từ đó chứng minh \(\widehat {KIO'} = 90^\circ \) (tổng hai góc phụ nhau).
Suy ra KI là tiếp tuyến của (O’) tại I.
a) Vì \(DE \bot BC\) nên \(DE \bot OA\).
Xét \(\Delta ODK\) và \(\Delta OEK\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat {OKD} = \widehat {OKE} = 90^\circ \\OD = OE = R\\OK\,{\rm{chung}}\end{array}\)
Suy ra \(\Delta ODK = \Delta OEK\left( {ch - cgv} \right)\)
Do đó DK = KE (hai cạnh tương ứng).
Mà \(K \in DE\) suy ra K là trung điểm của DE.
Tứ giác BDCE có K là trung điểm của hai đường chéo DE, BC và \(BC \bot DE\) tại K nên tứ giác BDCE là hình thoi.
b) Vì BDCE là hình thoi nên BD // CE (hai cạnh đối song song) (1)
Suy ra \(\widehat {DBA} = \widehat {ICA}\) (hai góc so le trong)
Xét \(\Delta BDA\) và \(\Delta CIA\) có:
\(\widehat {DBA} = \widehat {ICA}\) (cmt)
\(\widehat {DAB} = \widehat {IAC}\) (hai góc đối đỉnh)
Suy ra $\Delta BDA\backsim \Delta CIA$ (g.g)
Do đó \(\widehat {BDA} = \widehat {CIA}\) (2 góc tương ứng)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BD // CI (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, I, C thẳng hàng (theo tiên đề Euclid).
c) Vì O’I = O’A = O’C = \(\frac{1}{2}\)AC nên tam giác ACI vuông tại I.
Suy ra tam giác DIE vuông tại I, do đó \(KI = DK = KE = \frac{1}{2}DE\) nên \(\widehat {KDI} = \widehat {KID}\) (3)
Xét \(\Delta CIA\) và \(\Delta CKE\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat {CIA} = \widehat {CKE} = 90^\circ \\\widehat C\,{\rm{chung}}\end{array}\)
Suy ra $\Delta CIA\backsim \Delta CKE$ (g.g), do đó \(\widehat {CAI} = \widehat {CEK}\).
Vì O’I = O’A nên tam giác O’AI cân tại O’, suy ra \(\widehat {O'AI} = \widehat {O'IA}\).
Do đó \(\widehat {O'IA} = \widehat {CEK}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {KIO'} = \widehat {KIA} + \widehat {AIO'} = \widehat {KDI} + \widehat {CEK} = 90^\circ \) (hai góc \(\widehat {KDI}\) và \(\widehat {CEK}\) là hai góc phụ nhau)
Do đó \(\widehat {KIO'} = 90^\circ \) hay \(KI \bot O'I\), \(I \in \left( {O'} \right)\).
Vậy KI là tiếp tuyến của (O’) tại I.
Danh sách bình luận