Đề bài

Cho biểu thức \(B = \left( {\frac{{x - 12}}{{6\sqrt x  + x}} + \frac{4}{{\sqrt x  + 6}}} \right).\frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  - 2}}\) \(\left( {x \ge 0} \right)\)

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị của B khi \(x = 1\).

c) Tìm giá trị nguyên của x để B nguyên.

Phương pháp giải

a) Sử dụng kiến thức về căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức B.

b) Thay \(x = 1\) vào B để tính giá trị.

c) Đưa biểu thức về dạng \(A\left( x \right) + \frac{C}{{B\left( x \right)}}\) với C là hằng số. Để biểu thức đó là số nguyên thì \(B\left( x \right) \in \) Ư(C).

Kết hợp điều kiện của căn thức để tìm x.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có:

\(B = \left( {\frac{{x - 12}}{{6\sqrt x  + x}} + \frac{4}{{\sqrt x  + 6}}} \right).\frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  - 2}}\) \(\left( {x \ge 0} \right)\)

\(\begin{array}{l}\;B = \left[ {\frac{{x - 12}}{{\sqrt x \left( {6 + \sqrt x } \right)}} + \frac{4}{{\sqrt x  + 6}}} \right].\frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  - 2}}\\B = \left[ {\frac{{x - 12}}{{\sqrt x \left( {6 + \sqrt x } \right)}} + \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {6 + \sqrt x } \right)}}} \right].\frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  - 2}}\\B = \frac{{x - 12 + 4\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {6 + \sqrt x } \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  - 2}}\\B = \frac{{x - 2\sqrt x  + 6\sqrt x  - 12}}{{\sqrt x \left( {6 + \sqrt x } \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  - 2}}\\B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right) + 6\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {6 + \sqrt x } \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  - 2}}\\B = \frac{{\left( {\sqrt x  + 6} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {6 + \sqrt x } \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  - 2}}\\B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  - 2}}\\B = \frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x }}\end{array}\)

b) Thay \(x = 1\) vào B, ta được:

\(B = \frac{{\sqrt 1  + 7}}{{\sqrt 1 }} = \frac{{1 + 7}}{1} = 8\)

Vậy \(B = 8\) khi \(x = 1\).

c) Ta có: \(B = \frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{7}{{\sqrt x }} = 1 + \frac{7}{{\sqrt x }}\).

Vì 1 là số nguyên nên để \(B\) nguyên thì \(\frac{7}{{\sqrt x }}\) nguyên.

Do đó \(\sqrt x  \in \) Ư(7). Mà \(\sqrt x  > 0\) và \(x\) cần tìm là số nguyên nên \(\sqrt x \) là ước nguyên dương của \(7\).

Các ước nguyên dương của \(7\) là \(1;7\).

+ Với \(\sqrt x  = 1\) thì \(x = 1\) (TM).

+ Với \(\sqrt x  = 7\) thì \(x = 49\) (TM).

Vậy \(x\) nhận các giá trị là \(1;49\).