Đề bài

Cho \(\overrightarrow a  = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b  = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)\) là cặp VTCP của mặt phẳng \(\left( P \right)\). Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?

• A. \(\left( {1;2;0} \right)\)
• B. \(\left( {2;11; - 7} \right)\)
• C. \(\left( {4; - 22; - 14} \right)\)
• D. \(\left( {2;2; - 4} \right)\)

Phương pháp giải

Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là cặp VTCP của \(\left( P \right)\) thì \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTPT của \(\left( P \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(\overrightarrow a  = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b  = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 3\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 5\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 5\end{array}&\begin{array}{l}5\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}5\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {4;22; - 14} \right)\)

Do đó \(\overrightarrow n  = \left( {4;22; - 14} \right)\) là một VTPT của \(\left( P \right)\) nên \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow n  = \left( {2;11; - 7} \right)\) cũng là một VTPT của \(\left( P \right)\).

Đáp án : B

Chú ý

- Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án C vì tính sai tích có hướng của hai véc tơ.

- Có thể làm bài toán bằng cách thử đáp án với chú ý: VTPT vuông góc với cả hai VTCP.

Cụ thể: \(\left( {1;2;0} \right).\left( {5;1;3} \right) \ne 0\) nên loại.

\(\left( {2;11; - 7} \right).\left( {5;1;3} \right) = 0;\left( {2;11; - 7} \right).\left( { - 1; - 3; - 5} \right) = 0\) nên B đúng.