Một bể nước có hai vòi thoát. Biết rằng khi bể chứa đầy nước thì thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể mà chỉ dùng vòi thứ nhất là x (giờ) và thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể mà chỉ dùng vòi thứ hai là y (giờ).
a) Viết phân thức biểu thị thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể (khi bể chứa đầy nước) nếu mở cả hai vòi.
b) Tính thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể (khi bể chứa đầy nước) nếu mở cả hai vòi, biết rằng khi chỉ mở một vòi, vòi thứ nhất xả hết nước trong 2 giờ, vòi thứ hai xả hết nước trong 3 giờ.
+ Sử dụng kiến thức cộng (trừ) các phân thức khác mẫu để cộng (trừ) phân thức: Quy đồng mẫu thức rồi cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu vừa tìm được.
+ Sử dụng kiến thức chia một phân thức cho một phân thức để tính: Nhân phân thức bị chia với nghịch đảo của phân thức chia \(\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{{A.D}}{{B.C}}\)
a) Gọi t (giờ) là thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể (đầy nước) khi mở cả hai vòi. Khi đó, trong một giờ cả hai vòi cùng mở sẽ xả được: \(\frac{1}{t}\) (bể)
Trong 1 giờ, một mình vòi thứ nhất xả hết \(\frac{1}{x}\) (bể)
Trong 1 giờ, một mình vòi thứ hai xả hết \(\frac{1}{y}\) (bể)
Do đó, trong một giờ cả hai vòi cùng mở sẽ xả được: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{{x + y}}{{xy}}\) (bể nước)
Do đó, \(\frac{1}{t} = \frac{{x + y}}{{xy}}\) nên \(t = \frac{{xy}}{{x + y}}\)
b) Với \(x = 2;y = 3\) thì \(t = \frac{{2.3}}{{2 + 3}} = \frac{6}{5} = \) 1 giờ 12 phút.
Do đó, khi chỉ mở một vòi, vòi thứ nhất xả hết nước trong 2 giờ, vòi thứ hai xả hết trong 3 giờ thì cả hai vòi cùng xả hết nước bể trong 1 giờ 12 phút.
Các bài tập cùng chuyên đề
Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\dfrac{{{x^2} - 9}}{{x - 2}}:\dfrac{{x - 3}}{x}\)
b) \(\dfrac{x}{{{z^2}}} \cdot \dfrac{{xz}}{{{y^3}}}:\dfrac{{{x^3}}}{{yz}}\)
c) \(\dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{x}:\dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{x} \cdot \dfrac{{{x^2}}}{2}\)
Tính:
a) \(\left( {\dfrac{{1 - x}}{x} + {x^2} - 1} \right):\dfrac{{x - 1}}{x}\)
b) \(\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{x}} \right) \cdot \dfrac{{{x^2}}}{y} + \dfrac{x}{y}\)
c) \(\dfrac{3}{x} - \dfrac{2}{x}:\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{{{x^2}}}{3}\)
Trên một dòng sông, một con thuyền đi xuôi dòng với tốc độ \(x + 3\) km/h và đi ngược dòng với tốc độ \(x - 3\) km/h (\(x > 3)\).
a) Xuất phát từ bến A, thuyền đi xuôi dòng trong 4 giờ, rồi đi ngược dòng trong 2 giờ. Tính quãng đường thuyền đã đi. Lúc này thuyền cách bến A bao xa?
b) Xuất phát từ bến A, thuyền đi xuôi dòng đến bến B cách bến A \(15\)km, nghỉ \(30\) phút, rồi quay về bến A. Sau bao lâu kể từ lúc xuất phát thì thuyền quay về đến bến A?
Thực hiện phép tính:
\(a)\dfrac{x}{{xy + {y^2}}} - \dfrac{y}{{{x^2} + xy}}\)
\(b)\dfrac{{{x^2} + 4}}{{{x^2} - 4}} - \dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{2 - x}}\)
\(c)\dfrac{{{a^2} + ab}}{{b - a}}:\dfrac{{a + b}}{{2{{\rm{a}}^2} - 2{b^2}}}\)
\(d)\left( {\dfrac{{2{\rm{x}} + 1}}{{2{\rm{x}} - 1}} - \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}}} \right):\dfrac{{4{\rm{x}}}}{{10{\rm{x}} - 5}}\)
Cho biểu thức:
\(A = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{2{\rm{x}} - 2}} + \dfrac{3}{{{x^2} - 1}} - \dfrac{{x + 3}}{{2{\rm{x}} + 2}}} \right).\dfrac{{4{{\rm{x}}^2} - 4}}{5}\)
a) Viết điều kiện xác định của biểu thức A
b) Chứng minh giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến.
Cho biểu thức:
\(B = \left( {\dfrac{{5{{x}} + 2}}{{{x^2} - 10{{x}}}} + \dfrac{{5{{x}} - 2}}{{{x^2} + 10{{x}}}}} \right).\dfrac{{{x^2} - 100}}{{{x^2} + 4}}\)
a) Viết điều kiện xác định của biểu thức B
b) Rút gọn B và tính giá trị của biểu thức B tại x = 0,1
c) Tìm số nguyên x để biểu thức B nhận giá trị nguyên.
Số tiền hằng năm A (triệu đô la Mỹ) mà người Mỹ chi cho việc mua đồ ăn, đồ uống khi ra khỏi nhà và dân số P (triệu người) hằng năm của nước Mỹ từ năm 2000 đến năm 2006 lần lượt cho bởi công thức sau:
\(A = \dfrac{{ - 8242,58t + 348299,6}}{{ - 0,06t + 1}}\) với \(0 \le t \le 6;P = 2,71t + 282,7\) với \(0 \le t \le 6\)
Trong đó, t là số năm tính từ năm 2000, t = 0 tương ứng với năm 2000
(Nguồn: U.S Bureau of Economic Analysis and U.S Census Bureau)
Viết phân thức biểu thị (theo t) số tiền bình quân hằng năm mà mỗi người Mỹ đã chi cho việc mua đồ ăn, đồ uống khi ra khỏi nhà.
Trong Hình 2.5, hình bình hành F có diện tích là \(8{x^2} + 14x + 3\) mét vuông và chiều cao là \(2x + 3\) mét. Hình bình hành G có diện tích là \(12{x^2} - 4x\) mét vuông và chiều cao là \(3x - 1\) mét. Tính diện tích của tam giác vuông H theo x.
Một hàng rào được dựng bao quanh một mảnh đất hình chữ nhật diện tích \(500{m^2}\). Gọi \(x\) (m) là độ dài một cạnh của hàng rào.
a) Viết một phân thức theo \(x\) biểu diễn chu vi của hàng rào.
b) Tính chu vi đó khi \(x = 25\left( m \right)\).
Tính:
a) \(\left( {a + 1 + \frac{{1 - 2{a^2}}}{{a - 1}}} \right):\left( {1 - \frac{1}{{1 - a}}} \right)\);
b) \(\left( {\frac{a}{{{b^2}}} - \frac{1}{a}} \right):\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{a}} \right)\);
c) \(\left( {a - \frac{{4ab}}{{a + b}} + b} \right).\left( {a + \frac{{4ab}}{{a - b}} - b} \right)\);
d) \(ab + \frac{{ab}}{{a + b}}\left( {\frac{{a + b}}{{a - b}} - a - b} \right)\).
Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
a) \(A = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - 1} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}\) tại \(x = 5;y = 7\)
b) \(B = \frac{{2x + y}}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{8y}}{{{y^2} - 4{x^2}}} + \frac{{2x - y}}{{2{x^2} + xy}}\) tại \(x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\)
c) \(C = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} - \frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{1}{{x - y}}} \right) - \frac{x}{y}\) tại \(x = - 15;y = 5\)
Cho biểu thức: \(D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)
a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \(D\)
b) Tính giá trị của biểu thức \(D\) tại \(x = 5947\)
c) Tìm giá trị của \(x\) để \(D\) nhận giá trị nguyên.
Cho biểu thức: \(S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)
a) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức \(S\) tại \(x = 0,1\)
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(S\)
Thực hiện phép tính:
\(\begin{array}{l}a)\frac{{4{{\rm{x}}^2} - 1}}{{16{{\rm{x}}^2} - 1}}.\left( {\frac{1}{{2{\rm{x}} + 1}} + \frac{1}{{2{\rm{x}} - 1}} + \frac{1}{{1 - 4{{\rm{x}}^2}}}} \right)\\b)\left( {\frac{{x + y}}{{xy}} - \frac{2}{x}} \right).\frac{{{x^3}{y^3}}}{{{x^3} - {y^3}}}\end{array}\)
Tìm đa thức P trong các đẳng thức sau:
a) \(P + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{x}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 4}}\)
b) \(P - \frac{{4\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}} = \frac{{16}}{{x - 2}}\)
c) \(P.\frac{{x - 2}}{{x + 3}} = \frac{{{x^2} - 4{\rm{x}} + 4}}{{{x^2} - 9}}\)
d) \(P:\frac{{{x^2} - 9}}{{2{\rm{x}} + 4}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} + 3{\rm{x}}}}\)
Rút gọn biểu thức sau:
a) \(\frac{2}{{3{\rm{x}}}} + \frac{x}{{x - 1}} + \frac{{6{{\rm{x}}^2} - 4}}{{2{\rm{x}}\left( {1 - x} \right)}}\)
b) \(\frac{{{x^3} + 1}}{{1 - {x^3}}} + \frac{x}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)
c) \(\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{2}{{1 - x}}} \right).\frac{{{x^2} - 4}}{{4{{\rm{x}}^2} - 1}}\)
d) \(1 + \frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}}\left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{1}{{1 - {x^2}}}} \right)\)
Cho biểu thức: \(A = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 36}} + \frac{{6 - x}}{{6x + {x^2}}}} \right):\frac{{2x - 6}}{{{x^2} + 6x}} + \frac{x}{{6 - x}}\).
a) Viết điều kiện xác định của biểu thức A.
b) Rút gọn biểu thức trên.
Cho biểu thức \(N = \left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{x}{{x - 1}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}} \right).\frac{{x - 1}}{{2 + x}}\).
a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \(N\)
b) Rút gọn biểu thức \(N\)
c) Tính giá trị của biểu thức \(N\) khi \(\left| x \right| = 2\)
Cho \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{x + y + z}}\). Chứng minh rằng \(\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}}\)
Cho \(A = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4x}}{{4 - {x^2}}}\) với \(x \ne \pm 2.\)
a) Rút gọn biểu thức \(A\).
b) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 4\).
c) Tìm giá trị nguyên của \(x\) để \(A\) nhận giá trị nguyên dương.
Cho \(P = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2x + 1}}{{1 - {x^3}}}\) với \(x \ne 1.\)
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
b) Tính giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = 2.\)
c) Chứng minh \(P > 0\) với \(x > 0,\,x \ne 1.\)
Cho biểu thức \(A = \frac{{5x - 2}}{{{x^2} - 4}} - \frac{3}{{x + 2}} + \frac{x}{{x - 2}}\).
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(A.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
c) Tính giá trị của biểu thức \(A\) với \(x\) thỏa mãn \(\left| {x + 3} \right| = 5.\)
Giải phương trình
a) \(2\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right) = \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) - 27\)
b) \({x^2} - 4 - \left( {x + 5} \right)\left( {2 - x} \right) = 0\)
c) \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{4}{{{x^2} - 4}}\)
d) \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 2}}{{x + 3}} + \frac{4}{{{x^2} + 2x - 3}} = 0\)
Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\left( {\frac{1}{{{x^2} + x}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + x - 2} \right)\);
b) \(\left( {\frac{{3x}}{{1 - 3x}} + \frac{{2x}}{{3x + 1}}} \right):\frac{{6{x^2} + 10x}}{{1 - 6x + 9{x^2}}}\)
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(\left( {\frac{9}{{{x^3} - 9x}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right):\left( {\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 3x}} - \frac{x}{{3x + 9}}} \right)\);
b) \(\frac{{x + 1}}{{x + 2}}\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 3}}:\frac{{x + 3}}{{x + 1}}} \right)\).
Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{1 - {x^3}}}.\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right):\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}\)
a) Viết điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tính giá trị của P khi \(x = \frac{1}{2}\).
a) Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)
b) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Hãy thực hiện các phép tính đã chỉ ra.
a) \(\frac{{4{{\rm{x}}^2} - 1}}{{16{{\rm{x}}^2} - 1}}.\left( {\frac{1}{{2{\rm{x}} + 1}} + \frac{1}{{2{\rm{x}} - 1}} + \frac{1}{{1 - 4{{\rm{x}}^2}}}} \right)\);
b) \(\left( {\frac{{x + y}}{{xy}} - \frac{2}{x}} \right).\frac{{{x^3}{y^3}}}{{{x^3} - {y^3}}}\).
Cho biểu thức \(P = \frac{{{x^2} - 6{\rm{x}} + 9}}{{9 - {x^x}}} + \frac{{4{\rm{x}} + 8}}{{x + 3}}\)
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P tại x = 7.
c) Chứng tỏ \(P = 3 + \frac{2}{{x + 3}}\). Từ đó tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức đã cho nhận giá trị nguyên.
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
\(P = \left( {\frac{a}{{ab - {b^2}}} + \frac{{2a - b}}{{ab - {a^2}}}} \right):\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{a^2}b - a{b^2}}}\).
