Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2,5 km về phía nam và 2 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,8 km. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1,5 km về phía bắc và 3 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,6 km. Người ta cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu cho hai khinh khí cầu sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó tới hai khinh khí cầu nhỏ nhất. Giả sử vị trí cần tìm cách địa điểm hai khinh khí cầu bay lên là a km theo hướng nam và b km theo hướng tây. Tính tổng 2a + 3b.
Đáp án:
Đáp án:
Sử dụng quy tắc tính tọa độ vecto, tính độ dài vecto.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ), đơn vị đo lấy theo kilômét.
Gọi vị trí chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai lần lượt là P, Q.
Khi đó: \(P\left( {\frac{5}{2};2;\frac{4}{5}} \right)\), \(Q\left( { - \frac{3}{2}; - 3;\frac{3}{5}} \right)\).
Gọi I là điểm tiếp nhiên liệu trên mặt đất (Oxy). Khi đó I\(({x_I};{y_I};0)\).
Khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu tới hai khinh khí cầu nhỏ nhất, tức là IP + IQ nhỏ nhất.
Gọi C là điểm đối xứng của P qua (Oxy). Khi đó \(C\left( {\frac{5}{2};2; - \frac{4}{5}} \right)\) và IP = IC.
Vậy để IP + IQ nhỏ nhất thì IC + IQ nhỏ nhất. Điều đó xảy ra khi Q, I, C thẳng hàng, hay \(\overrightarrow {QC} \), \(\overrightarrow {QI} \) cùng phương.
\(\overrightarrow {QC} = \left( {\frac{5}{2} + \frac{3}{2};2 + 3; - \frac{4}{5} - \frac{3}{5}} \right) = \left( {4;5; - \frac{7}{5}} \right)\); \(\overrightarrow {QI} = \left( {{x_I} + \frac{3}{2};{y_I} + 3; - \frac{3}{5}} \right)\).
Để \(\overrightarrow {QC} \), \(\overrightarrow {QI} \) cùng phương thì \(\frac{{{x_I} + \frac{3}{2}}}{4} = \frac{{{y_I} + 3}}{5} = \frac{3}{7}\). Từ đó tính được \({x_I} = \frac{3}{{14}}\); \({y_I} = - \frac{6}{7}\).
Vậy \(I\left( {\frac{3}{{14}};-\frac{6}{7};0} \right)\), suy ra \(a = \frac{3}{{14}}\); \(b = \frac{6}{7}\) (vì I cách điểm xuất phát b (km) theo hướng tây nên b > 0).
Ta được \(2a + 3b = 2.\frac{3}{{14}} + 3.\frac{6}{7} = 3\).
Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Để chứng minh ba điểm A, B, C bất kì thẳng hàng, ta tìm số thực k khác 0 sao cho \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \).
Tìm điểm đối xứng qua các mặt phẳng tọa độ
Cho điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\).
- Điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (Oxy) có toạ độ \(({x_0};{y_0}; - {z_0})\).
- Điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (Oyz) có toạ độ \(( - {x_0};{y_0};{z_0})\).
- Điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (Ozx) có toạ độ \(({x_0}; - {y_0};{z_0})\).
Danh sách bình luận