Đề bài

Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x (cm), chiều cao là h (cm) và thể tích là 4000 \(c{m^3}\). Tìm độ dài cạnh hình vuông x sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Lập hàm biểu diễn diện tích xung quanh và đáy của hộp rồi tìm giá trị nhỏ nhất của hàm đó.

Thể tích của hộp là \(V = {x^2}h = 4000\) (\(c{m^3}\)).

Suy ra chiều cao của hộp là \(h = \frac{{4000}}{{{x^2}}}\) (cm).

Diện tích xung quanh của hộp là \(S(x) = {x^2} + 4xh = {x^2} + 4x\frac{{4000}}{{{x^2}}} = {x^2} + \frac{{16000}}{x}\) (\(c{m^2}\)).

Chiếc hộp làm ra tốn ít bìa nhất khi diện tích xung quanh hình hộp nhỏ nhất.

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của S(x).

Ta có \(S'(x) = 2x - \frac{{16000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{{16000}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow 2{x^3} = 16000 \Leftrightarrow {x^3} = 8000 \Leftrightarrow x = 20\).

Ta có bảng biến thiên:

Vậy để tốn ít bìa nhất thì cạnh hình vuông có chiều dài x = 20 (cm).