Khai triển các biểu thức sau:
a) \({\left( {x + 1} \right)^5}\)
b) \({\left( {x - 3y} \right)^5}\)
Sử dụng khai triển Nhị thức Newton với \(n = 5\):\({\left( {a + b} \right)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)
a) \({\left( {x + 1} \right)^5} = {x^5} + 5.{x^4}.1 + 10.{x^3}{.1^2} + 10.{x^2}{.1^3} + 5.{x^1}{.1^4} +{1^5} = {x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\)
b) \(\begin{array}{l}{\left( {x - 3y} \right)^5} = {\left[ {x + \left( { - 3y} \right)} \right]^5} = {x^5} + 5{x^4}{\left( { - 3y} \right)^1} + 10{x^3}{\left( { - 3y} \right)^2} + 10{x^2}{\left( { - 3y} \right)^3} + 5{x^1}{\left( { - 3y} \right)^4} + {\left( { - 3y} \right)^5}\\ = {x^5} - 15{x^4}y + 90{x^3}{y^2} - 270{x^2}{y^3} + 405x{y^4} - 243{y^5}\end{array}\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Tính:
a) \(C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4\)
b)\(C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5\)
Bài 2 :
Khai triển biểu thức: \({\left( {2 - 3y} \right)^4}\).
Bài 3 :
Khai triển biểu thức \({\left( {2 + x} \right)^4}\).
Bài 4 :
Khai triển các biểu thức sau:
a) \({\left( {2x + 1} \right)^4}\)
b)\({\left( {3y - 4} \right)^4}\)
c)\({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^4}\)
d)\({\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^4}\)
Bài 5 :
Xác định hệ số của \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({\left( {3x + 2} \right)^5}\).
Bài 6 :
Cho \({\left( {1 - \frac{1}{2}x} \right)^5} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + {a_4}{x^4} + {a_5}{x^5}\) . Tính:
a) \({a_3}\)
b) \({a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5}\)
Bài 7 :
Khai triển các biểu thức sau:
a) \({\left( {4y - 1} \right)^4}\)
b) \({\left( {3x + 4y} \right)^5}\)
Bài 8 :
Trên quầy còn 4 vé xổ số khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong các số vé đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.
Bài 9 :
Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng:
a) \(C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81\).
b) \(C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 1\).
Bài 10 :
Khai triển các biểu thức sau
a) \({\left( {x - 2} \right)^4}\).
b) \({\left( {x + 2y} \right)^5}\).
Bài 11 :
a) Xét công thức khai triển \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\).
i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên.
ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên.
iii) Tính giá trị của \(C_3^0,C_3^1,C_3^2,C_3^3\) (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?
b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của \({\left( {a + b} \right)^4}\).
\({\left( {a + b} \right)^4} = \left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^3} = ? = ?{a^4} + ?{a^3}b + ?{a^2}{b^2} + ?a{b^3} + ?{b^4}\).
Tính giá trị của \(C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4\) để viết lại công thức khai triển trên.
c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của \({\left( {a + b} \right)^5}\). Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.
Bài 12 :
Ở trung học cơ sở, ta đã quen thuộc với các công thức khai triển:
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\); \({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\).
Với số tự nhiên n > 3 thì công thức khai triển biểu thức \({(a + b)^n}\) sẽ như thế nào?
Bài 13 :
Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:
a) \({\left( {3x + y} \right)^4}\)
b) \({\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}\)
Bài 14 :
Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:
a) \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4}\)
b) \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^4}\)
c) \({\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^5}\)
Bài 15 :
Tìm hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({\left( {3x - 2} \right)^5}\).
Bài 16 :
Chứng minh rằng \(C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5 = 0\).
Bài 17 :
Khai triển các biểu thức:
a) \({\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^4}\)
b) \({\left( {2{x^2} + 1} \right)^5}\)
Bài 18 :
Hãy khai triển và rút gọn biểu thức:
\({\left( {1 + x} \right)^4} + {\left( {1 - x} \right)^4}\).
Sử dụng kết quả đó để tính gần đúng biểu thức \(1,{05^4} + 0,{95^4}\).
Bài 19 :
a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của \({(1 + 0,05)^4}\) để tính giá trị gần đúng của \(1,{05^4}\).
b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của \(1,{05^4}\) và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.
Bài 20 :
Khai triển \({(3x - 2)^5}\).
Bài 21 :
Khai triển \({(x - 2)^4}\).
Bài 22 :
Khai triển các đa thức:
a) \({(x - 3)^4}\)
b) \({(3x - 2y)^4}\)
c) \({(x + 5)^4} + {(x - 5)^4}\)
d) \({(x - 2y)^5}\)
Bài 23 :
Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển của \({(3x - 1)^5}\).
Bài 24 :
Biểu diễn \({(3 + \sqrt 2 )^5} - {(3 - \sqrt 2 )^5}\) dưới dạng \(a + b\sqrt 2 \) với a, b là các số nguyên.
Bài 25 :
a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của \({(1 + 0,02)^5}\) để tính giá trị gần đúng của \(1,{02^5}\).
b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của \(1,{02^5}\) và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.
Bài 26 :
Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là r%
a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).
b) Với \(r = 1,5\% \), dùng hai số hạng đầu trong khai triển của \({(1 + 0,015)^5},\) hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).
Bài 27 :
Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển nhị thức \({(3x - 4)^5}\) là
A. 1620
B. 60
C. -60
D. -1620
Bài 28 :
Trong khai triển nhị thức Newton của\({(2x + 3)^5}\), hệ số của \({x^4}\) hay hệ số của \({x^3}\) lớn hơn?
Bài 29 :
Trongg khai triển nhị thức Newton của \({(2 + 3x)^4}\), hệ số của \({x^2}\) là:
A. 9
B. \(C_4^2\)
C. \(9C_4^2\)
D. \(36C_4^2\)
Bài 30 :
Viết khai triển nhị thức Newton của \({(2x - 1)^n}\), biết n là số tự nhiên thỏa mãn \(A_n^2 + 24C_n^1 = 140\).
