Đề bài

Cho hình lập phương B’C có đường chéo \(A'C = \frac{3}{{16}}\). Gọi O là tâm hình vuông ABCD và điểm S thỏa mãn \(\overrightarrow {OS}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OA'}  + \overrightarrow {OB'}  + \overrightarrow {OC'}  + \overrightarrow {OD'} \). Khi đó, độ dài đoạn OS bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{N}\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối gián. Tính giá trị của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2}\).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất trung điểm, quy tắc nhân vecto với một số và cách xác định độ dài vecto.

Gọi O’ là tâm hình vuông A’B’C’D’.

Xét tam giác AA’C’ vuông tại A: \(A'{C^2} = A'{A^2} + A{C^2} = A'{A^2} + {\left( {\sqrt 2 A'A} \right)^2} = 3A'{A^2}\).

Suy ra \(A'A = \frac{{A'C}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{16}}\).

Ta có:

\(\overrightarrow {OS}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OA'}  + \overrightarrow {OB'}  + \overrightarrow {OC'}  + \overrightarrow {OD'} \)

\( = \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD} } \right) + \left( {\overrightarrow {OA'}  + \overrightarrow {OC'} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB'}  + \overrightarrow {OD'} } \right)\)

\( = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  + 2\overrightarrow {OO'}  + 2\overrightarrow {OO'}  = 4\overrightarrow {OO'} \).

Suy ra \(OS = \left| {\overrightarrow {OS} } \right| = \left| {4\overrightarrow {OO'} } \right| = 4OO' = 4AA' = 4\frac{{\sqrt 3 }}{{16}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\).

Khi đó a = 1, b = 4. Ta có \(P = {a^2} + {b^2} = {1^2} + {4^2} = 17\).