Đề bài

Một ngọn hải đăng đạt ở vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 5 (km). Trên bờ biển có một kho hàng ở vị trí C cách B một khoảng là 7 (km). Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4 (km/h) rồi đi bộ đến C với vận tốc 6 (km/h). Xác định vị trí của điểm M để người đó đến kho nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Thiết lập hàm số biểu diễn thời gian đi từ A đến M và từ M đến C. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đó.

Đặt x = BM, \(0 \le x \le 7\).

Khi đó \(AM = \sqrt {{x^2} + 25} \), \(MC = 7 - x\).

Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là \(T(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7 - x}}{6}\) (giờ).

Ta có \(T'(x) = \frac{1}{4}.\frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 25} }} + \frac{1}{6}.( - 1) = \frac{x}{{4\sqrt {{x^2} + 25} }} - \frac{1}{6} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{4\sqrt {{x^2} + 25} }} = \frac{1}{6}\)

\( \Leftrightarrow 6x = 4\sqrt {{x^2} + 25}  \Leftrightarrow {x^2} = 20\).

Giải phương trình trên kết hợp với điều kiện ta được \(x = 2\sqrt 5 \).

Có \(T(0) = \frac{{\sqrt {{0^2} + 25} }}{4} + \frac{{7 - 0}}{6} = \frac{5}{4} + \frac{7}{6} = \frac{{29}}{{12}} \approx 2,417\);

\(T(2\sqrt 5 ) = \frac{{\sqrt {{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} + 25} }}{4} + \frac{{7 - 2\sqrt 5 }}{6} = \frac{5}{4} + \frac{7}{6} = \frac{{4 + 5\sqrt 5 }}{{12}} \approx 2,098\);

\(T(7) = \frac{{\sqrt {{7^2} + 25} }}{4} + \frac{{7 - 7}}{6} = \frac{{\sqrt {74} }}{4} \approx 2,151\).

Từ đó suy ra T(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = 2\sqrt 5  \approx 4,472\).

Vậy để người canh hải đăng đi từ hải đăng đến kho hàng nhanh nhất thì điểm M cách B một khoảng 4,472 km.