Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S, G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, AC, BD, AD, BC, MN.

a) \(\overrightarrow {MR}  = \overrightarrow {SN} \).

Đúng

Sai

b) \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \).

Đúng

Sai

c) \(2\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} \).

Đúng

Sai

d) \(\left| {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID} } \right|\) nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G.

Đúng

Sai

Đáp án

a) \(\overrightarrow {MR}  = \overrightarrow {SN} \).

Đúng

Sai

b) \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \).

Đúng

Sai

c) \(2\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} \).

Đúng

Sai

d) \(\left| {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID} } \right|\) nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G.

Đúng

Sai

Phương pháp giải

Dựa vào khái niệm vecto cùng phương, cùng hướng, cách xác định độ dài vecto, tính chất trung điểm.

a) Đúng. Vì \(\overrightarrow {MR}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \), \(\overrightarrow {SN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \) suy ra \(\overrightarrow {MR}  = \overrightarrow {SN} \).

b) Đúng. Ta có:

M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  = 2\overrightarrow {GM} \).

N là trung điểm của CD nên \(\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = 2\overrightarrow {GN} \).

G là trung điểm của MN nên \(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  = \overrightarrow 0 \).

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = 2\overrightarrow {GM}  + 2\overrightarrow {GN}  = 2\left( {\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0 \).

c) Sai. Ta có:

Q là trung điểm của BD nên \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {AQ}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AQ}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\).

P là trung điểm của AC nên \(\overrightarrow {AP}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

Từ đó ta có \(2\overrightarrow {PQ}  = 2\left( {\overrightarrow {AQ}  - \overrightarrow {AP} } \right) = 2\left[ {\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right] = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} \).

d) Đúng. Ta có:

\(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = 2\overrightarrow {IM}  + 2\overrightarrow {IN}  = 2\left( {\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {IN} } \right) = 2.2\overrightarrow {IG}  = 4\overrightarrow {IG} \).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID} } \right| = \left| {4\overrightarrow {IG} } \right| = 4IG\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID} } \right|\) nhỏ nhất khi IG = 0, tức I trùng G.