Đề bài

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 15. Biết độ dài \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} \) bằng \(a\sqrt 6 \). Khi đó, giá trị của a bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của trung điểm, trọng tâm, tích của một số với một vecto.

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm của CD.

Khi đó: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG} \). Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {3\overrightarrow {AG} } \right| = 3AG\).

Xét tam giác đều BCD có \(BM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}BC = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.15\).

G là trọng tâm tam giác BCD nên \(BG = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3}.\frac{{15\sqrt 3 }}{2} = 5\sqrt 3 \).

Vì tứ diện ABCD đều nên AG vuông góc với mặt phẳng (BCD). Do đó \(\widehat {AGB} = {90^o}\).

Xét tam giác ABG vuông tại G: \(AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}}  = \sqrt {{{15}^2} - {{\left( {5\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 5\sqrt 6 \).

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right| = 3AG = 3.5\sqrt 6  = 15\sqrt 6 \).

Vậy a = 15.