Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(-4;3;-1) và N(2;-1;-3).

a) \(\overrightarrow {OM}  = ( - 4;3; - 1)\).

b) Cho vecto \(\overrightarrow v  = \overrightarrow i  + 2\overrightarrow j  - 3\overrightarrow k \) và \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow v \). Tọa độ điểm A là (-5;1;2).

c) Gọi G là trọng tâm tam giác OMN. Tọa độ hình chiếu của G trên Oxy là \(\left( {0;0; - \frac{4}{3}} \right)\).

d) Gọi I là trung điểm đoạn MN. Tọa độ vecto \(\overrightarrow w  = 3\overrightarrow i  + 2\overrightarrow {ON}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {OI} \) là \(\left( {\frac{9}{2};\frac{{ - 5}}{2}; - 7} \right)\).

a) \(\overrightarrow {OM}  = ( - 4;3; - 1)\).

Đúng

Sai

b) Cho vecto \(\overrightarrow v  = \overrightarrow i  + 2\overrightarrow j  - 3\overrightarrow k \) và \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow v \). Tọa độ điểm A là (-5;1;2).

Đúng

Sai

c) Gọi G là trọng tâm tam giác OMN. Tọa độ hình chiếu của G trên Oxy là \(\left( {0;0; - \frac{4}{3}} \right)\).

Đúng

Sai

d) Gọi I là trung điểm đoạn MN. Tọa độ vecto \(\overrightarrow w  = 3\overrightarrow i  + 2\overrightarrow {ON}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {OI} \) là \(\left( {\frac{9}{2};\frac{{ - 5}}{2}; - 7} \right)\).

Đúng

Sai

Đáp án

a) \(\overrightarrow {OM}  = ( - 4;3; - 1)\).

Đúng

Sai

b) Cho vecto \(\overrightarrow v  = \overrightarrow i  + 2\overrightarrow j  - 3\overrightarrow k \) và \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow v \). Tọa độ điểm A là (-5;1;2).

Đúng

Sai

c) Gọi G là trọng tâm tam giác OMN. Tọa độ hình chiếu của G trên Oxy là \(\left( {0;0; - \frac{4}{3}} \right)\).

Đúng

Sai

d) Gọi I là trung điểm đoạn MN. Tọa độ vecto \(\overrightarrow w  = 3\overrightarrow i  + 2\overrightarrow {ON}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {OI} \) là \(\left( {\frac{9}{2};\frac{{ - 5}}{2}; - 7} \right)\).

Đúng

Sai

Phương pháp giải

Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vecto, nhân vecto với một số.

a) Đúng. Tọa độ \(\overrightarrow {OM} \) là tọa độ điểm M(-4;3;-1).

b) Đúng. \(\overrightarrow v  = \overrightarrow i  + 2\overrightarrow j  - 3\overrightarrow k  = (1;2; - 3)\).

\(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow v  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 - {x_A} = 1\\3 - {y_A} = 2\\ - 1 - {z_A} =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} =  - 5\\{y_A} = 1\\{z_A} = 2\end{array} \right.\), vậy A(-5;1;2).

c) Sai. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_O} + {x_M} + {x_N}}}{3} = \frac{{0 - 4 + 2}}{3} =  - \frac{2}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_O} + {y_M} + {y_N}}}{3} = \frac{{0 + 3 - 1}}{3} = \frac{2}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_O} + {z_M} + {z_N}}}{3} = \frac{{0 - 1 - 3}}{3} = \frac{{ - 4}}{3}\end{array} \right.\), vậy G\(\left( { - \frac{2}{3};\frac{2}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\).

Tọa độ hình chiếu của G trên Oxy là \(\left( { - \frac{2}{3};\frac{2}{3};0} \right)\).

d) Sai. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{ - 4 + 2}}{2} =  - 1\\{y_I} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = \frac{{3 - 1}}{2} = 1\\{z_I} = \frac{{{z_M} + {z_N}}}{2} = \frac{{ - 1 - 3}}{2} =  - 2\end{array} \right.\), vậy I(-1;1;-2).

\(\overrightarrow {OI}  = ( - 1;1; - 2) \Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow {OI}  = \left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow w  = 3\overrightarrow i  + 2\overrightarrow {ON}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {OI} \)

\( = \left( {3 + 2.2 + \frac{1}{2};0 + 2.( - 1) - \frac{1}{2};0 + 2.( - 3) + 1} \right) = \left( {\frac{{15}}{2}; - \frac{5}{2}; - 5} \right)\).