Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AB = a, AD = 2a, SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M. N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD.
a) Hai vecto \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CD} \) là hai vecto cùng phương, cùng hướng.
b) Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {SC} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng \({60^o}\).
c) Tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
d) Độ dài của vecto \(\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} \) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
a) Hai vecto \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CD} \) là hai vecto cùng phương, cùng hướng.
b) Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {SC} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng \({60^o}\).
c) Tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
d) Độ dài của vecto \(\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} \) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Dựa vào khái niệm vecto cùng phương, cùng hướng, cách tính độ dài vecto, tích vô hướng của hai vecto và góc giữa hai vecto.
a) Sai. Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD.
Khi đó \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CD} \) là hai vecto cùng phương, ngược hướng.
b) Sai. Ta có ABCD là hình chữ nhật nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = a\sqrt 5 \).
Vì SA vuông góc với đáy (ABCD) nên SA vuông góc với AC. Xét tam giác SAC vuông tại A:
\(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }}\) suy ra \(\widehat {SCA} \approx {41^o}48'\).
Ta có \(\left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CS} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {SCA} \approx {41^o}48'\).
c) Đúng. Vì SA vuông góc với đáy (ABCD) nên SA vuông góc với AB. Xét tam giác SAB vuông tại A:
\(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \).
Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên \(AM = SM = MB = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Sử dụng định lý cosin cho tam giác MAB:
\(\cos \widehat {MAB} = \frac{{M{A^2} + A{B^2} - M{B^2}}}{{2MA.MB}} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} + {a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}.a}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Ta có \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = AM.AB\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.a.\frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
d) Sai. Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD.
Do đó \(MN = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} } \right| = \left| {\overrightarrow {NM} } \right| = MN = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Danh sách bình luận