Đề bài

Một bác nông dân có 60000000 đồng để làm một cái rào hình chữ E đọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần bằng nhau để trồng cà chua. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 50000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song với nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 40000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất (\({m^2}\)) của đất có thể rào được?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Lập hàm số biểu diễn diện tích mảnh đất và tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.

Gọi chiều dài mỗi mặt rào vuông góc với bờ là x (mét, x > 0).

Chiều dài mặt rào song song với bờ là 2y (mét, y > 0).

Chi phí mua rào vuông góc với bờ là 40000.3x = 120000x (đồng).

Chi phí mua rào song song với bờ là 50000.2y = 100000y (đồng).

Tồng chi phí bác nông dân có thể bỏ ra là 60000000 đồng nên ta có:

\(120000x + 100000y = 60000000 \Leftrightarrow 6x + 5y = 3000 \Leftrightarrow y = 600 - \frac{6}{5}x\).

Điều kiện: \(y > 0 \Leftrightarrow 600 - \frac{6}{5}x > 0 \Leftrightarrow x < 500\).

Diện tích khu đất rào được là:

\(S = 2xy = 2x\left( {600 - \frac{6}{5}x} \right) = 1200x - \frac{{12}}{5}{x^2}\).

Xét hàm số \(f(x) = 1200x - \frac{{12}}{5}{x^2}\) với \(x \in (0;500)\).

\(f'(x) = 1200 - \frac{{24}}{5}x = 0 \Leftrightarrow x = 250 \in (0;500)\).

Ta có: \(f(0) = 0\); \(f(250) = 150000\); \(f(500) = 0\).

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = 1200x - \frac{{12}}{5}{x^2}\) với \(x \in (0;500)\) là 150000 (\({m^2}\)).

Vậy diện tích lớn nhất của khu đất rào được là 150000 (\({m^2}\)).