Đề bài

Cho $u = u(x),\,v = v(x),\,w = w(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Chứng minh rằng $(u\,.\,v\,.\,w)' = u'\,.\,v\,.\,w + u\,.\,v'\,.\,w + u\,.\,v\,.\,w'$.

Phương pháp giải

Dựa vào đạo hàm hợp và các tính chất để tính.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đặt: $g(x) = u(x).v(x),\,\,f(x) = g(x).w(x)$.

Ta có:

$f'(x) = g'(x).w(x) + g(x).w'(x) = \left( {u.v} \right)'.w(x) + (uv).w'(x) = \left( {u'v + uv'} \right).w + (uv).w'$$ = u'vw + uv'w + uvw'$.

Xem thêm : SGK Toán 11 - Cánh diều

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Hàm số $y = {2^{\ln x + {x^2}}}$ có đạo hàm là

A.

$\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}$
B.

$\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}.\ln 2$
C.

$\dfrac{{{2^{\ln x + {x^2}}}}}{{\ln 2}}$
D.

$\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right)\dfrac{{{2^{\ln x + {x^2}}}}}{{\ln 2}}$

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{1}{{x\sqrt x }}$ là:

A.

$y' = \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}$
B.

$y' = - \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}$
C.

$y' = \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}$
D.

$y' = - \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}$

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Tính đạo hàm của hàm số $y = {13^x}$.

A.

$y' = x{.13^{x - 1}}$.
B.

$y' = {13^x}.\ln 13$.
C.

$y' = {13^x}$.
D.

$y' = \dfrac{{{{13}^x}}}{{\ln 13}}$.

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Tính đạo hàm của hàm số $y = {2^{{x^2}}}.$

A.

$y' = \dfrac{{x{{.2}^{1 + {x^2}}}}}{{\ln 2}}$.
B.

$y' = x{.2^{1 + {x^2}}}.\ln 2$.
C.

$y' = {2^x}.\ln {2^x}$.
D.

$y' = \dfrac{{x{{.2}^{1 + x}}}}{{\ln 2}}$.

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Tính đạo hàm của hàm số $y = {e^{\sqrt {2x} }}.$

A.

$y' = \dfrac{{{e^{\sqrt {2x} }}}}{{2\sqrt {2x} }}.$
B.

$y' = \dfrac{{{e^{\sqrt x }}}}{{\sqrt {2x} }}.$
C.

$y' = \dfrac{{{e^{\sqrt {2x} }}}}{{\sqrt {2x} }}.$
D.

$y' = \sqrt {2x} .{e^{\sqrt {2x} }}.$

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Tính đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{{4^x}}}$.

A.

$y' = \dfrac{{1 - 2\left( {x + 1} \right)\ln 2}}{{{2^{2x}}}}$.
B.

$y' = \dfrac{{1 + 2\left( {x + 1} \right)\ln 2}}{{{2^{2x}}}}$.
C.

$y' = \dfrac{{1 - 2\left( {x + 1} \right)\ln 2}}{{{4^{{x^2}}}}}$ .
D.

$y' = \dfrac{{1 + 2\left( {x + 1} \right)\ln 2}}{{{4^{{x^2}}}}}$.

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Tính đạo hàm của hàm số $y=3{{e}^{-x}}+2017{{e}^{\cos x}}$

A.

$y' = - 3{e^{ - x}} + 2017\sin x{e^{\cos x}}.$
B.

.$-3{{e}^{-x}}-2017\sin x{{e}^{\cos x}}$.
C.

$y' = 3{e^{ - x}} - 2017\sin x{e^{\cos x}}.$
D.

$y' = 3{e^{ - x}} + 2017\sin x{e^{\cos x}}.$

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = {2^{{x^2} + 1}}$. Tính $T = {2^{ - {x^2} - 1}}.f'\left( x \right) - 2x\ln 2 + 2$.

A.

$T = - 2$
B.

$T = 2$
C.

$T = 3$
D.

$T = 1$

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Tính đạo hàm của hàm số $y = {x^x}$ với $x > 0.$

A.

$y' = x.{x^{x - 1}}$.
B.

$y' = \left( {\ln x + 1} \right){x^x}$.
C.

$y' = {x^x}\ln x$
D.

$y' = \dfrac{{{x^x}}}{{\ln x}}$.

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Cho hàm số $y = \dfrac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}.$ Khi đó $y'\left( 0 \right)$ bằng:

A.

$y'\left( 0 \right) = \dfrac{1}{2}$.
B.

$y'\left( 0 \right) = \dfrac{1}{3}$.
C.

$y'\left( 0 \right) = 1$.
D.

$y'\left( 0 \right) = 2$.

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$ là

A.

$\dfrac{{1 - 3x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}$.
B.

$\dfrac{{1 - 3x}}{{{x^2} + 1}}$.
C.

$\dfrac{{1 + 3x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}$.
D.

$\dfrac{{2{x^2} - x - 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}$.

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Hàm số $y = \sqrt {2 + 2{x^2}} $ có đạo hàm $y' = \frac{{a + bx}}{{\sqrt {2 + 2{x^2}} }}$. Khi đó $S = a - 2b$ có kết quả bằng

A.
$S = - 4$
B.
$S = 10$
C.
$S = - 6$
D.
$S = 8$

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Tinh đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \tan \left( {{e^x} + 1} \right)$;

b) $y = \sqrt {\sin 3x} $;

c) $y = \cot \left( {1 - {2^x}} \right)$.

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = {\left( {2{x^3} + 3} \right)^2}$;

b) $y = \cos 3x$;

c) $y = {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right)$.

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Cho hàm số $u = \sin x$ và hàm số $y = {u^2}$.

a) Tính $y$ theo $x$.

b) Tính $y{'_x}$ (đạo hàm của $y$ theo biến $x$), $y{'_u}$ (đạo hàm của $y$ theo biến $u$) và $u{'_x}$ (đạo hàm của $u$ theo biến $x$) rồi so sánh $y{'_x}$ với $y{'_u}.u{'_x}$.

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = {\left( {2x - 3} \right)^{10}};$

b) $y = \sqrt {1 - {x^2}} .$

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Cho các hàm số $y = {u^2}$ và $u = {x^2} + 1.$

a) Viết công thức của hàm hợp $y = {\left( {u\left( x \right)} \right)^2}$ theo biến x.

b) Tính và so sánh: $y'\left( x \right)$ và $y'\left( u \right).u'\left( x \right)$.

Xem lời giải >>

Bài 18 :

a) Gọi $g\left( x \right)$ có đạo hàm của hàm số $y = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right).$ Tìm $g\left( x \right)$.

b) Tính đạo hàm của hàm số $y = g\left( x \right)$.

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Cho hàm số $f(x) = \sqrt {4 + 3u(x)} $ với $u(1) = 7,u'(1) = 10$. Khi đó $f'(1)$ bằng

A. 1.

B. 6 .

C. 3 .

D. -3 .

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Cho hàm số $f(x) = \sqrt {3x + 1} $. Đặt $g(x) = f(1) + 4\left( {{x^2} - 1} \right)f'(1)$. Tính $g(2)$.

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) $y={{e}^{3x+1}}$

b) $y={{\log }_{3}}\left( 2x-3 \right)$

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Hàm số $y={{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)$ là hàm hợp của hai hàm số nào?

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Cho hàm số $y = f(u) = \sin u;\,\,u = g(x) = {x^2}$

a) Bằng cách thay u bởi ${x^2}$ trong biểu thức $\sin u$, hãy biểu thị giá trị của y theo biến số x.

b) Xác định hàm số $y = f(g(x))$.

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Cho hàm số $f(x) = {2^{3x + 2}}$

a) Hàm số f(x) là hàm hợp của hàm số nào?

b) Tìm đạo hàm của f(x).

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) $y = \sin 3x + {\sin ^2}x$.

b) $y = {\log _2}(2x + 1) + {3^{ - 2x + 1}}$.

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Đạo hàm của hàm số $y = {\sin ^2}2x$ là

A.

$2\sin 2x.$
B.

$2\sin 4x.$
C.

$2\cos 2x.$
D.

$\sin 4x.$

Xem lời giải >>

Bài 27 :

Hàm số $f\left( x \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 4} }}$ có đạo hàm tại $x = 1$ bằng

A. $f'\left( 1 \right) = {e^{\sqrt 5 }}$

B. $f'\left( 1 \right) = 2{e^{\sqrt 5 }}$

C. $f'\left( 1 \right) = \frac{{{e^{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt 5 }}$

D. $f'\left( 1 \right) = \frac{{{e^{\sqrt 5 }}}}{{2\sqrt 5 }}$

Xem lời giải >>

Bài 28 :

Hàm số $y = \ln \left( {\cos x} \right)$ có đạo hàm là

A. $\frac{1}{{\cos x}}$

B. $ - \tan x$

C. $\tan x$

D. $\cot x$

Xem lời giải >>

Bài 29 :

Hàm số $y = {3^{{x^2} + 1}}$ có đạo hàm là

A. $\left( {{x^2} + 1} \right){3^{{x^2}}}$

B. $\left( {{x^2} + 1} \right){3^{{x^2} + 1}}\ln 3$

C. $2x{3^{{x^2} + 1}}\ln 3$

D. ${3^{{x^2} + 1}}$

Xem lời giải >>

Bài 30 :

Tính đạo hàm của các hàm số sau biết f và g là các hàm số có đạo hàm trên $\mathbb{R}$:

a) $y = f\left( {{x^3}} \right)$;

b) $y = \sqrt {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)} $.

Xem lời giải >>

Cho \(u = u(x),\,v = v(x),\,w = w(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Chứng minh rằng \((u\,.\,v\,.\,w)' = u'\,.\,v\,.\,w + u\,.\,v'\,.\,w + u\,.\,v\,.\,w'\).