Đề bài

Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\) tại \({x_0} = 2\) bằng định nghĩa.

Phương pháp giải

Dựa vào ví dụ 1 để làm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét \(\Delta x\) là số gia của biến số tại điểm x₀ = 2.

Ta có:

$\begin{align} \Delta y=f\left( 2+\Delta x \right)-f\left( 2 \right)=\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2} \\ =\frac{2-2-\Delta x}{2\left( 2+\Delta x \right)}=\frac{-\Delta x}{4+2\Delta x} \\ \end{align}$

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{-\Delta x}{4+2\Delta x}}{\Delta x}=\frac{-\Delta x}{\Delta x\left( 4+2\Delta x \right)}=\frac{-1}{4+2\Delta x}$

Ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{4+2\Delta x}=\frac{-1}{4+2.0}=\frac{-1}{4}$

Vậy $f'\left( 2 \right)=\frac{-1}{4}$