Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1 + t\\z =  - 1 + 3t\end{array} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + s\\y =  - 2 + 3s\\z =  - 5\end{array} \right.\)

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\).

b) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\).

Phương pháp giải

Ý a: Xác định các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng, sau đó kiểm tra xem có cùng phương, vuông góc và cuối cùng sử dụng tích có hướng để kiểm tra xem chéo nhau hay không.

Ý b: Áp dụng công thức liên hệ với tích có hướng của hai vectơ.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) lần lượt là \(\overrightarrow u  = \left( {0;1;3} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {u'}  = \left( {1;3;0} \right)\) và \(\Delta \) đi qua \(A\left( {3;1; - 1} \right)\), \(\Delta '\) đi qua \(B\left( {1; - 2; - 5} \right)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 9;3; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 3; - 4} \right)\) suy ra \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \cdot \overrightarrow {AB}  = 13 \ne 0\) nên hai đường thẳng chéo nhau.

b) Ta có \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{3}{{10}}\).