Đề bài

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính \(\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \overrightarrow {BC} \).

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất phân phối của vecto.

Để tính tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) trong không gian, ta áp dụng công thức:

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \(\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) . \overrightarrow {BC}  \)

\(= \overrightarrow {AB}  . \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  . \left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) \)

\(= \overrightarrow {AB}  . \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  . \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD}  . \overrightarrow {AB} \)

\(= a . a . \cos {120^ \circ } + a . a . \cos {60^ \circ } - a . a . \cos {60^ \circ } \)

\(=  - \frac{{{a^2}}}{2}\).