Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính \(r\) của mặt cầu có phương trình:
a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 1 = 0\).
b) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y - 9z + 1 = 0\).
a) Với phương trình mặt cầu dạng tổng quát \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\):
- Tìm tọa độ tâm \(I(a,b,c)\) với
\(a = - A\), \(b = - B\), \(c = - C\).
- Tính bán kính \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} \).
b) Nếu phương trình có hệ số khác 1 cho các x^2, y^2, z^2 thì chia cả hai vế cho hệ số đó để đưa về dạng chuẩn.
a) Phương trình mặt cầu:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 1 = 0.\)
So sánh với phương trình mặt cầu tổng quát:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
ta có:
\(2A = 4 \Rightarrow A = 2,\quad 2B = - 2 \Rightarrow B = - 1,\quad 2C = 0 \Rightarrow C = 0,\quad D = 1.\)
Vậy:
\(a = - A = - 2,\quad b = - B = 1,\quad c = - C = 0.\)
Tâm \(I( - 2,1,0)\). Bán kính:
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {0^2} - 1} = \sqrt {4 + 1 - 1} = \sqrt 4 = 2.\)
Vậy phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 2,1,0)\) và bán kính \(r = 2\).
b)
Phương trình mặt cầu:
\(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y - 9z + 1 = 0.\)
Chia cả hai vế cho \(3\):
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 3z + \frac{1}{3} = 0.\)
So sánh với phương trình mặt cầu tổng quát:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0,\)
ta có:
\(2A = 2 \Rightarrow A = 1,\quad 2B = 4 \Rightarrow B = 2,\quad 2C = - 3 \Rightarrow C = - \frac{3}{2},\quad D = \frac{1}{3}.\)
Vậy:
\(a = - A = - 1,\quad b = - B = - 2,\quad c = - C = \frac{3}{2}.\)
Tâm \(I( - 1, - 2,\frac{3}{2})\). Bán kính:
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - D} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 2)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{3}} = \sqrt {1 + 4 + \frac{9}{4} - \frac{1}{3}} .\)
Tính tiếp:
\(r = \sqrt {\frac{{12 + 48 + 27 - 4}}{{12}}} = \sqrt {\frac{{83}}{{12}}} = \frac{{\sqrt {83} }}{2}.\)
Vậy phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 1, - 2,\frac{3}{2})\) và bán kính \(r = \frac{{\sqrt {83} }}{2}\).
Danh sách bình luận