Đề bài

Giả sử người ta biểu diễn mô phỏng của tòa nhà Ericsson Globe ở phần Khởi động trong hệ trục tọa độ Oxyz bởi một mặt cầu có tâm I, đường kính 110 m và \(OA = 85\) m như hình vẽ (đơn vị trên trục là mét). Hãy viết phương trình của mặt cầu này.

Phương pháp giải

1. Xác định tọa độ của tâm mặt cầu I:

- Vì tâm mặt cầu nằm trên trục Oz, nên tọa độ của I sẽ có dạng \((0,0,{z_0})\).

- Sử dụng thông tin khoảng cách từ O đến I để tìm \({z_0}\).

2. Viết phương trình của mặt cầu:

- Phương trình tổng quát của mặt cầu có tâm \(I(a,b,c)\) và bán kính \(R\) là:

\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\)

- Thay tọa độ tâm và bán kính vào phương trình trên để hoàn thành lời giải.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

1. Xác định tọa độ tâm \(I\):

Do \(OA = 85\) m và bán kính của mặt cầu \(R = \frac{{110}}{2} = 55\) m, nên khoảng cách từ \(O\) đến \(I\) là:

\(OI = OA - R = 85 - 55 = 30 {\rm{m}}\).

Vậy tọa độ của \(I\) là \((0,0,30)\).

2. Viết phương trình của mặt cầu:

Phương trình mặt cầu với tâm \(I(0,0,30)\) và bán kính \(R = 55\) là:

\({(x - 0)^2} + {(y - 0)^2} + {(z - 30)^2} = {55^2}\)

\( \Leftrightarrow{x^2} + {y^2} + {(z - 30)^2} = 3025\).