Đề bài

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) \({3^{\frac{1}{x}}} = 4\);

b) \({2^{{x^2} - 3x}} = 4\);

c) \({\log _4}(x + 1) + {\log _4}(x - 3) = 3\);

d) \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \frac{1}{{125}}\);

e) \({(2 - \sqrt 3 )^x} \le {(2 + \sqrt 3 )^{x + 2}}\);

f) \(\log \left( {3{x^2} + 1} \right) > \log (4x)\).

Phương pháp giải

Tìm điều kiện của các phương trình sau đó giải.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) \({3^{\frac{1}{x}}} = 4\) (ĐK: \(x \ne 0\))

\( \Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _3}4 \Leftrightarrow x = {\log _4}3\) (TM).

Vậy phương trình có tập nghiệm \(x = {\log _4}3\).

b) \({2^{{x^2} - 3x}} = 4\)

\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 3x}} = {2^2}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 3x = 2\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\x = \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\frac{{3 - \sqrt {17} }}{2};\frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}} \right\}\).

c) \({\log _4}(x + 1) + {\log _4}(x - 3) = 3\) (ĐK: x > 3)

\( \Leftrightarrow {\log _4}\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)} \right] = 3\)

\(\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = {4^3}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 64\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 67 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + 2\sqrt {17} (TM) \\x = 1 - 2\sqrt {17} (L) \end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1 + 2\sqrt {17}\).

d) \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \frac{1}{{125}} \)

\(\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge {\left( {\frac{1}{5}} \right)^3} \)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 2x \le 3 \)

\(\Leftrightarrow  - 1 \le x \le 3\).

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left[ { - 1;3} \right]\).

e) \({(2 - \sqrt 3 )^x} \le {(2 + \sqrt 3 )^{x + 2}} \)

\(\Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - x}} \le {(2 + \sqrt 3 )^{x + 2}} \)

\(\Leftrightarrow  - x \le x + 2 \)

\(\Leftrightarrow x \ge  - 1\).

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left[ { - 1; + \infty } \right)\).

f) \(\log \left( {3{x^2} + 1} \right) > \log (4x) \) (ĐK: x > 0)

\(\Leftrightarrow 3{x^2} + 1 > 4x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < \frac{1}{3}\\x > 1\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left( {0 ;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).