Đề bài

a) Bằng cách viết \(y = \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\,\,\,\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = \tan x.\)

b) Sử dụng đẳng thức \(\cot x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) với \(x \ne k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = \cot x.\)

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x,\left( {\cos x} \right)' =  - \sin x\).

- Sử dụng quy tắc \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^,} = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) \(y' = \left( {\tan x} \right)' = {\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)^,} = \frac{{\left( {\sin x} \right)'.\cos x - \sin x.\left( {\cos x} \right)'}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

b) \(\left( {\cot x} \right)' = {\left[ {\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)} \right]^,} = \frac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}} =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) (dựa vào ý a)