Đề bài

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \) tại điểm x > 0.

Phương pháp giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là \(y' = f'\left( x \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Với \({x_0}\) bất kì, ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} }}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} }}{{\left( {\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}\end{array}\)

Vậy hàm số \(y = \sqrt x \) có đạo hàm là hàm số \(y' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\).