Đề bài

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x}{3} = \frac{{y + 1}}{{ 2}} = \frac{{z - 1}}{2}$ và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0 và (Q): 2x + 3z - 2 = 0. Góc giữa d và d’

• A. ${30^o}$
• B. ${45^o}$
• C. ${60^o}$
• D. ${90^o}$

Phương pháp giải

d’ là giao tuyến của (P) và (Q) nên vecto chỉ phương của d’ là $\overrightarrow {u'}  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]$.

Hai đường thẳng d, d’ có vecto chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'}$ có $\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}}  = (1;2; - 1)$, $\overrightarrow {{n_2}}  = (2;0;3)$.

d’ là giao tuyến của (P) và (Q) nên vecto chỉ phương của d’ là:

$\overrightarrow {u'}  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\0&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\3&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&0\end{array}} \right|} \right) = (6; - 5; - 4)$.

Vecto chỉ phương của d, d’ lần lượt là $\overrightarrow u  = (3;2;2)$ và $\overrightarrow {u'}  = (6; - 5; - 4)$.

$\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {6.3 - 5.2 - 4.2} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {{( - 5)}^2} + {{( - 4)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 0$.

Vậy góc giữa d và d’ bằng ${90^o}$.

Đáp án : D