Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, biết \(AB = 15\,cm,\,AC = 13\,cm\) và đường cao \(AH = 12 \ cm\). Gọi \(N, M\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(H\) xuống \(AC\) và \(AB\).

a) Chứng minh rằng \(\Delta AHN\) ᔕ \(\Delta ACH\)

b) Tính độ dài \(BC\)

c) Chứng minh \(\Delta AMN\) ᔕ \(\Delta ACB\)

d) Tính \(MN\)

Phương pháp giải

- Vẽ hình theo yêu cầu bài toán:

- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

- Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

- Trong một tam giác vuông bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét \(\Delta ANH\) và \(\Delta AHC\) có:

\(\widehat {NAH}\) chung

\(\widehat {ANH} = \widehat {AHN} = {90^o}\)

Suy ra \(\Delta ANH\) ᔕ \(\Delta AHC\) (g.g)

b) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\), áp dụng định lý pythagore ta có: \(A{H^2} + H{B^2} = A{B^2}\)

Thay số \(H{B^2} = A{B^2} - A{H^2} = {15^2} - {12^2} = 81\)

Suy ra: \(HB = \sqrt {81}  = 9\,\left( {cm} \right)\)

Tương tự : \(CH = 5\,cm\)

Suy ra: \(BC = BH + CH = 9 + 5 = 14\,cm\)

c) Theo chứng minh trên ta có: \(\Delta ANH\) ᔕ \(\Delta AHC\)

Suy ra: \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) Hay \(A{H^2} = AN.AC\) (1)

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta AMH\) ᔕ \(\Delta AHB\)

Suy ra: \(A{H^2} = AM.AB\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AN.AC = AM.AB\)

Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ACB\) có :

\(\widehat A\) chung

\(AN.AC = AM.AB\)

Suy ra \(\Delta AMN\) ᔕ \(\Delta ACB\) (c.g.c)

d) Ta có : \(\Delta AMH\) ᔕ \(\Delta AHB\)

Suy ra: \(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\). Suy ra: \(AM = \frac{{A{H^2}}}{{AB}} = \frac{{{{12}^2}}}{{15}} = 9,6\,\left( {cm} \right)\)

Lại có: \(\Delta AMN\) và \(\Delta ACB\) (cmt)

Suy ra: \(\frac{{MN}}{{CB}} = \frac{{AM}}{{AC}}\). Suy ra \(MN = \frac{{CB.AM}}{{AC}} = \frac{{14.9,6}}{{13}} \approx 10,34\,\left( {cm} \right)\)