Đề bài

Cho hình chữ nhật $ABCD$, kẻ $AH \bot BD$ tại $H$.

a) Chứng minh $\Delta ADH$ đồng dạng với $\Delta BDA$.

b) Chứng minh $\Delta AHD$ đồng dạng với $\Delta BHA$ và $A{H^2} = DH.BH$

c) Tính $AD, AB$ biết $DH = 9 cm, BH = 16 cm$.

d) Gọi $K, M, N$ lần lượt là trung điểm của $AH, BH, CD$. Chứng minh rằng tứ giác $MNDK$ là hình bình hành và $\widehat {AMN} = {90^o}$.

Phương pháp giải

- Vẽ hình theo yêu cầu bài toán.

- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

- Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

d) Chứng minh $KM$ là đường trung bình của $\Delta AHB$

Từ đó suy ra tứ giác $KMND$ là hình bình hành (tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Chứng minh $K$ là trực tâm của tam giác $ADM$ suy ra $HK \bot AM$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét $\Delta AHD$ và $\Delta DAB$ có:

$\widehat {AHD} = \widehat {DAB} = {90^o}$

$\widehat {ABD}$ chung

Suy ra $\Delta AHD$ ᔕ $\Delta DAB$ (g.g)

b) Ta thấy $\widehat {HAD} + \widehat {HAB} = \widehat {ABH} + \widehat {HAB} = {90^o}$

Suy ra: $\widehat {HAD} = \widehat {ABH}$

Xét $\Delta AHD$ và $\Delta BHA$ có:

$\begin{array}{l}\widehat {AHD} = \widehat {BHA} = {90^o}\\\widehat {HAD} = \widehat {ABH}\end{array}$

Suy ra $\Delta AHD$ ᔕ $\Delta BHA$ (g.g)

Suy ra $\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{HD}}{{AH}}$. Suy ra $A{H^2} = HB.HD$

c) Ta có $A{H^2} = HB.HD$ (cmt)

Thay số, ta được: $A{H^2} = 9.16 = 144$

Suy ra: $AH = \sqrt {144}  = 12\,\left( {cm} \right)$

Áp dụng định lý pythagore vào tam giác vuông $AHD$ và $AHB$, ta có:

$A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {12^2} + {16^2} = 400$

Suy ra $AB = \sqrt {400}  = 20\,\left( {cm} \right)$

$A{D^2} = A{H^2} + H{D^2} = {12^2} + {9^2} = 225$

Suy ra $AD = \sqrt {225}  = 15\,\left( {cm} \right)$

d) Xét $\Delta AHB$ có $K, M$ lần lượt là trung điểm của $HA, HB$ nên $KM$ là đường trung bình của $\Delta AHB$

Suy ra $KM\parallel AB;\,KM = \frac{1}{2}AB$

Mà $AB\parallel CD;\,AB = CD;\,DN = \frac{1}{2}CD$

Nên $KM\parallel DN;\,KM = DN$

Tứ giác $KMND$ là hình bình hành

Ta thấy $KM\parallel CD$ mà $DC \bot AD$ nên $MK \bot AD$

Tam giác $ADM$ có $MK \bot AD;\,AH \bot DM$ nên $K$ là trực tâm của tam giác $ADM$

Suy ra: $HK \bot AM$

Lại có $MN\parallel DK$ nên $MN \bot AM$ hay $\widehat {AMN} = {90^o}$