Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 8cm, BC = 6cm\). Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) xuống \(BD\), phân giác của \(\widehat {BCD}\) cắt \(BD\) ở \(E\).
a) Chứng minh: Tam giác \(AHB\) đồng dạng tam giác \(BCD\).
b) Chứng minh \(AH.ED = HB.EB\).
c) Tính diện tích tứ giác \(AECH\).
a) Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
b) Từ câu a suy ra được \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{CD}}\) (1)
Có \(CE\) là đường phân giác trong \(\Delta BCD\) nên \(\frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{EB}}{{ED}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra được \(AH.ED = HB.EB\) (đpcm)
c) Tính độ dài đoạn thẳng \(AC\)
Chứng minh \(\frac{{BC}}{{AB + BC}} = \frac{{EB}}{{ED + EB}} = \frac{{EB}}{{BD}}\)
Tính độ dài các đoạn thẳng \(EB, ED, AH, DH, EH\)
Do \(\Delta AHE\) và \(\Delta CHE\) có cạnh chung là \(EH\), chiều cao tương ứng bằng nhau (vì \(ABCD\) là hình chữ nhật.
a) Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB\parallel CD\).
Suy ra \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc so le trong).
Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta BCD\) có:
\(\widehat {BCD} = \widehat {AHB} = {90^o}\)
\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) (chứng minh trên)
Do đó \(\Delta AHB\) ᔕ \(\Delta BCD\) (g.g)
b) Từ câu a: \(\Delta AHB\) ᔕ \(\Delta BCD\)
Suy ra: \(\frac{{AH}}{{BC}} = \frac{{HB}}{{CD}}\) Hay \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{CD}}\) (1)
Lại có \(CE\) là đường phân giác trong \(\Delta BCD\) nên \(\frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{EB}}{{ED}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{EB}}{{ED}}\).
Do đó \(AH.ED = HB.EB\) (đpcm)
c) Áp dụng định lý Pythagore vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), ta được: \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\)
Thay số, ta được \(A{C^2} = {8^2} + {6^2}=100\)
Suy ra \(AC = \sqrt {100} = 10\)
Ta có \(\frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{EB}}{{ED}}\) Hay \(\frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{EB}}{{ED}} \)
Suy ra: \(\frac{{BC}}{{AB + BC}} = \frac{{EB}}{{ED + EB}}\)
Hay \(\frac{{BC}}{{AB + BC}} = \frac{{EB}}{{ED + EB}} = \frac{{EB}}{{BD}}\)
Thay số, ta được: \(\frac{6}{{6 + 8}} = \frac{{EB}}{{10}}\)
Suy ra \(EB = \frac{{30}}{7}\,\left( {cm} \right)\)
Khi đó \(\frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{EB}}{{ED}}\)
Thay số, ta được \(\frac{6}{8} = \frac{{\frac{{30}}{7}}}{{ED}}\)
Suy ra \(ED = \frac{{40}}{7}\,\left( {cm} \right)\)
Mặt khác, từ câu a: \(\Delta AHB\) ᔕ \(\Delta BCD\)
suy ra: \(\frac{{AH}}{{BC}} = \frac{{EB}}{{BD}}\)
Suy ra: \(AH = \frac{{AB.BC}}{{BD}} = \frac{{8.6}}{{10}} = 4,8\,\left( {cm} \right)\)
Áp dụng định lý Pythagore vào \(\Delta ADH\) vuông tại \(H\), ta được: \(A{H^2} + D{H^2} = A{D^2}\)
Suy ra: \(D{H^2} = A{D^2} - A{H^2}\)
Thay số, ta được: \(D{H^2} = {6^2} - 4,{8^2} = 12,96\)
Suy ra \(DH = \sqrt {12,96} = 3,6\,\left( {cm} \right)\)
Do đó: \(EH = ED - DH = \frac{{40}}{7} - 3,6 = \frac{{74}}{{35}}\,\left( {cm} \right)\).
Do đó \({S_{AECH}} = 2.\frac{1}{2}.AH.HE = 4,8.\frac{{74}}{{35}} \approx 10,15\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Vậy diện tích tứ giác \(AECH\) là \(10,15\,c{m^2}\)
Danh sách bình luận