Đề bài

Xác định \(a,\,b\) của hàm số \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\) sao cho đồ thị hàm số:

a) Đi qua điểm \(A\left( {3;\, - 1} \right)\) và \(B = \left( {2;\, - 5} \right)\)

b) Đi qua giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = x + 1\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = 2x - 3\), và đồ thị hàm số song song với đường thẳng \(y = \frac{3}{2}x - 24\).

c) Vuông góc với đường thẳng \(y =  - \frac{1}{4}x + 9\) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(5\)

Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng \((d_{1}): y = ax + b\) và \((d_{2}): y = a’x + b’\)

Hai đường thẳng cắt nhau khi \(a \ne a'\)

Hai đường thẳng song song với nhau khi \(a=a’\) và \(b \ne b’\)

Hai đường thẳng trùng nhau khi \(a=a’\) và \(b = b’\)

Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi \(a.a'=-1\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Đồ thị hàm số \(y = ax + b\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {3;\, - 1} \right)\) nên ta có:

\( - 1 = a.3 + b\), do đó \(b =  - 3a - 1\) (1)

Đồ thị hàm số \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(B\left( {2;\, - 5} \right)\) nên ta có:

\( - 5 = a.2 + b\), do đó \(b =  - 2a - 5\) (2)

Từ (1) và (2), suy ra: \( - 3a - 1 =  - 2a - 5\). Suy ra \(a = 4\)

Thay \(a = 4\) vào \(b =  - 3a - 1\), suy ra \(b =  - 3a - 1 =  - 3.4 - 1 =  - 13\)

Vậy \(a = 4\) và \(b =  - 13\).

b) Do đồ thị hàm số \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\) song song với đường thẳng \(y = \frac{3}{2}x - 24\), nên ta có \(a = \frac{3}{2}\) và \(b \ne 24\). Khi đó ta có hàm số \(y = \frac{3}{2}x + b\,\,\,\left( {b \ne  - 24} \right)\).

Giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right):y = x + 1\) và \({d_2} = 2x - 3\) là nghiệm của phương trình: \(x + 1 = 2x - 3\)Suy ra \(x = 4\).

Thay \(x = 4\) vào hàm số \(y = x + 1\) ta được \(y = 4 + 1 = 5\).

Do đó hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại điểm \(\left( {4;\,5} \right)\)

Do đường thẳng \(y = \frac{3}{2}x + b\,\,\,\left( {b \ne  - 24} \right)\) đi qua điểm \(\left( {4;\,5} \right)\) nên ta có:

\(5 = \frac{3}{2}.4 + b\), do đó \(b =  - 1\) (thỏa mãn).

Vậy \(a = \frac{3}{2}\) và \(b =  - 1\).

c) Do đường thẳng \(y = ax + b\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) vuông góc với đường thẳng \(y =  - \frac{1}{4}x + 9\) nên ta có \(a.\left( { - \frac{1}{4}} \right) =  - 1\), suy ra \(a = 4\) (thỏa mãn). Khi đó ta có hàm số \(y = ax + b\).

Đường thẳng \(y = 4x + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(5\) nên ta có:

\(5 = 4.0 + b\), do đó \(b = 5\).

Vậy \(a = 4\) và \(b = 5\).