Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(BC=15 cm, CA=18 cm\) và \(AB=12 cm\). Gọi \(I\) và \(G\) lần lượt là giao điểm ba đường phân giác và trọng tâm \(\Delta ABC\).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(CD\) và \(BD\).

b) Chứng minh \(IG\parallel BC\).

c) Tính độ dài đoạn thẳng \(IG\).

Phương pháp giải

- Vẽ hình theo yêu cầu của bài toán.

a) Gọi \(AD\) là đường phân giác góc \(BAC\,\left( {D \in BC} \right)\).

Chứng minh \(\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{AB}}\) và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tính \(CD\)

b) Chứng minh \(\frac{{AI}}{{DI}} = \frac{{AG}}{{GM}} = 2\). Vậy theo định lí Thales đảo ta suy ra được \(IG\parallel BC\).

c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Xét \(\Delta ADM\) có \(IG\parallel BC\),  theo hệ quả định lí Thales ta có \(\frac{{IG}}{{DM}} = \frac{{AG}}{{AM}}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Gọi \(AD\) là đường phân giác góc \(BAC\,\left( {D \in BC} \right)\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\),  hay \(\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{AB}}\).

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC + DB}}{{AC + AB}} = \frac{{BC}}{{AC + AB}} = \frac{{15}}{{18 + 12}} = \frac{1}{2}\)

Suy ra \(CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.12 = 6\,cm\).

b) Xét \(\Delta ACD\),  có \(CI\) là đường phân giác của \(\widehat {ACD}\) nên \(\frac{{AI}}{{DI}} = \frac{{AC}}{{DC}} = \frac{{12}}{6} = 2\) (Tính chất tia phân giác trong tam giác)

Mặt khác, do \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{AG}}{{GM}} = 2\).

Do đó \(\frac{{AI}}{{DI}} = \frac{{AG}}{{GM}} = 2\),  theo định lí Thales đảo ta có \(IG\parallel BC\).

c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó \(MB = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.15 = 7,5\,cm\)

 Suy ra \(DM = BM - BD = 7,5 - 6 = 1,5\,cm\).

Xét \(\Delta ADM\) có \(IG\parallel BC\),  theo hệ quả định lí Thales ta có \(\frac{{IG}}{{DM}} = \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}\).

Suy ra \(IG = \frac{2}{3}DM = \frac{2}{3}.1,5 = 1\,cm\).