Đề bài

Cho hàm số \(y = \left( {m - 1} \right)x + m\) (\(m\) là tham số \(m \ne 1\)) có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right)\).

a) Tìm \(m\) để \(\left( d \right):y = \left( {m - 1} \right)x + m\) song song với \(\left( {d'} \right):y = 2x - 3\).

b) Vẽ \(\left( d \right)\) với \(m\) tìm được và vẽ \(\left( {d'} \right)\) trên cùng mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

c) Tìm \(m\) để đường thẳng \(y = \left( {m - 1} \right)x + m\) và hai đường thẳng \(y = x + 2;\,y = \frac{1}{2}x + 3\) đồng quy.

Phương pháp giải

a) Cho hai đường thẳng \((d_{1}): y = ax + b\) và \((d_{2}): y = a’x + b’\). Hai đường thẳng song song với nhau khi \(a=a’\) và \(b \ne b’\)

b) Tìm 2 điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = 2x + 3\), vẽ đường thẳng nối 2 điểm vừa tìm được

Tìm 2 điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = 2x + 3\), vẽ đường thẳng nối 2 điểm vừa tìm được

c) Gọi \(A\left( {{x_A};\,{y_A}} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng \(y = x + 2;\,y = \frac{1}{2}x+3\)

Tìm giao điểm của 2 đường thẳng \(y = x + 2;\,y = \frac{1}{2}x+3\)

Để ba đường thẳng \(y = x + 2;\,y = \frac{1}{2}x + 3\) và \(\left( d \right):y = \left( {m - 1} \right)x + m\) đồng quy thì đường thẳng (\(d\)) phải đi qua giao điểm \(A\left( {2;\,4} \right)\) của hai đường thẳng \(y = x + 2;\,y = \frac{1}{2}x + 3\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Với \(m \ne 1\), để đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m - 1} \right)x + m\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 2x - 3\) thì \(m - 1 = 2\) và \(m \ne  - 3\),  suy ra \(m = 3\) (TM).

Vậy \(m = 3\)

b) ⦁ Với \(m = 3\) ta có hàm số \(y = 2x + 3\).

Cho \(x = 0\) ta có \(y = 3\)

Cho \(x =  - 1\) ta có \(y = 1\)   

Đồ thị hàm số \(y = 2x + 3\) là đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua hai điểm \(\left( {0;\,3} \right)\) và \(\left( { - 1;\,1} \right)\)

⦁ Xét hàm số \(y = 2x - 3\).

Cho \(x = 0\) ta có \(y =  - 3\)

Cho \(x = 1\) ta có \(y =  - 1\)

Đồ thị hàm số \(y = 2x + 3\) là đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) đi qua hai điểm \(\left( {0;\, - 3} \right)\) và \(\left( {1;\, - 1} \right)\)

c) Gọi \(A\left( {{x_A};\,{y_A}} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng \(y = x + 2;\,y = \frac{1}{2}x+3\)

Vì \(A\) thuộc đường thẳng \(y = x + 2\) nên ta có \({y_A} = {x_A} + 2\).  Khi đó \(A\left( {{x_A};\,{x_A} + 2} \right)\)

Vì \(A\) thuộc đường thẳng \(y = \frac{1}{2}x + 3\) nên ta có \({x_A} + 2 = \frac{1}{2}{x_A} + 3\),  suy ra \({x_A} = 2\)

Từ đó, ta có \({y_A} = {x_A} + 2 = 2 + 2 = 4\)

Vì vậy ta được \(A\left( {2;\,4} \right)\).

Để ba đường thẳng \(y = x + 2;\,y = \frac{1}{2}x + 3\) và \(\left( d \right):y = \left( {m - 1} \right)x + m\) đồng quy thì đường thẳng (\(d\)) phải đi qua giao điểm \(A\left( {2;\,4} \right)\) của hai đường thẳng \(y = x + 2;\,y = \frac{1}{2}x + 3\).

Khi đó \(x = 2;\,y = 4\) thỏa mãn hàm số \(y=(m-1)x+m\), ta được:

\(4 = \left( {m - 1} \right).2 + m\), do đó \(3m = 6\) nên \(m = 2\) (TM)

Vậy \(m = 2\).