Đề bài

Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức \(\frac{{12}}{{12 - 4x - {x^2}}}\).

Phương pháp giải

Ta biến đổi \(12 - 4x - {x^2} = 16 - {\left( {2 + x} \right)^2}\)

Sau đó ta áp dụng kiến thức bình phương của một số luôn không âm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \(12 - 4x - {x^2} = 16 - 4 - 4x - {x^2} = 16 - \left( {4 + 4x + {x^2}} \right) = 16 - {\left( {2 + x} \right)^2}\)

Vì \( - {\left( {2 + x} \right)^2} \le 0\) nên \(16 - {\left( {2 + x} \right)^2} \le 16\).

Để phân thức B đạt giá trị nhỏ nhất thì biểu thức \(12 - 4x - {x^2}\) đạt giá trị lớn nhất.

Khi đó, \(B = \frac{{12}}{{12 - 4x - {x^2}}} = \frac{{12}}{{16 - {{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \le \frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4}\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(2 + x = 0\) hay \(x =  - 2\).

 Vậy giá trị lớn nhất của phân thức B  là \(\frac{3}{4}\) khi \(x =  - 2\).