ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối tia của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. Kẻ BE ⊥ AM (E ∈ AM), CF ⊥ AN (F ∈ AN).
Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AM, qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AN, chúng cắt nhau ở H. Chứng minh ba điểm A, O, H thẳng hàng.
ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối tia của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. Kẻ BE ⊥ AM (E ∈ AM), CF ⊥ AN (F ∈ AN).
Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AM, qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AN, chúng cắt nhau ở H. Chứng minh ba điểm A, O, H thẳng hàng.
- Vẽ hình theo yêu cầu bài toán.
- Chứng minh ∆ABM = ∆ACN. Suy ra AM = AN (hai cạnh tương ứng).
- Chứng minh AO là phân giác góc MAN.
- Chứng minh ∆AMH = ∆ANH. Suy ra \(\widehat {MAH} = \widehat {NAH}\) (hai góc tương ứng)
Suy ra AH là phân giác góc MAN.
Mà AO là phân giác góc MAN.
Do đường phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc có độ lớn bằng nhau. Bất kỳ góc nào cũng chỉ có duy nhất một đường phân giác.
Nên ba điểm A, O, H thẳng hàng.
Vì ∆ABC cân tại A nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) suy ra \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\).
Xét ∆ABM và ∆ACN có:
AB = AC (vì ∆ABC cân tại A)
\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (chứng minh trên)
BM = CN (giả thiết)
Do đó ∆ABM = ∆ACN (c.g.c).
Suy ra AM = AN (hai cạnh tương ứng), \(\widehat {AMB} = \widehat {ANC}\) (hai góc tương ứng).
Xét ∆BME và ∆CNF có:
\(\widehat {BEM} = \widehat {CFN} = 90^\circ \)
BM = CN (giả thiết)
\(\widehat {AMB} = \widehat {ANC}\) (chứng minh trên)
Do đó ∆BME = ∆CNF (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra ME = NF (Hai cạnh tương ứng).
Mà AM = AN nên AE = AF.
Ta lại có \(\widehat {EBM} = \widehat {FCN}\) suy ra \(\widehat {OBC} = \widehat {OCB}\).
Do đó ∆OBC cân tại O từ đó OB = OC suy ra OE = OF.
Xét ∆AEO và ∆AFO có:
AE = AF (chứng minh trên)
\(\widehat {AEO} = \widehat {AFO} = 90^\circ \)
OE = OF (chứng minh trên)
Do đó ∆AEO = ∆AFO (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {OAE} = \widehat {OAF}\) (hai góc tương ứng).
Vậy AO là tia phân giác của góc MAN.
Xét ∆AMH và ∆ANH có:
\(\widehat {AMH} = \widehat {ANH} = 90^\circ \)
Cạnh AH chung
AM = AN (chứng minh trên)
Do đó ∆AMH = ∆ANH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra \(\widehat {MAH} = \widehat {NAH}\) (hai góc tương ứng)
Suy ra AH là phân giác góc MAN.
Mặt khác AO là phân giác góc MAN nên AH và AO trùng nhau.
Do đó ba điểm A, O, H thẳng hàng.
Danh sách bình luận