Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối tia của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. Kẻ BE ⊥ AM (E ∈ AM), CF ⊥ AN (F ∈ AN).
EB và FC kéo dài cắt nhau tại O. Chứng minh AO là tia phân giác của góc MAN
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối tia của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. Kẻ BE ⊥ AM (E ∈ AM), CF ⊥ AN (F ∈ AN).
EB và FC kéo dài cắt nhau tại O. Chứng minh AO là tia phân giác của góc MAN
- Vẽ hình theo yêu cầu bài toán.
- Chứng minh ∆BME = ∆CNF để suy ra AE = AF.
- Chứng minh ∆AEO = ∆AFO. Suy ra \(\widehat {OAE} = \widehat {OAF}\) (hai góc tương ứng).
Vậy AO là tia phân giác của góc MAN.
Vì ∆ABC cân tại A nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) suy ra \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\).
Xét ∆ABM và ∆ACN có:
AB = AC (vì ∆ABC cân tại A)
\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (chứng minh trên)
BM = CN (giả thiết)
Do đó ∆ABM = ∆ACN (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {ANC}\) (hai góc tương ứng).
Xét ∆BME và ∆CNF có:
\(\widehat {BEM} = \widehat {CFN} = 90^\circ \)
BM = CN (giả thiết)
\(\widehat {AMB} = \widehat {ANC}\) (chứng minh trên)
Do đó ∆BME = ∆CNF (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra ME = NF (Hai cạnh tương ứng).
Mà AM = AN nên AE = AF.
Ta lại có \(\widehat {EBM} = \widehat {FCN}\) suy ra \(\widehat {OBC} = \widehat {OCB}\).
Do đó ∆OBC cân tại O từ đó OB = OC suy ra OE = OF.
Xét ∆AEO và ∆AFO có:
AE = AF (chứng minh trên)
\(\widehat {AEO} = \widehat {AFO} = 90^\circ \)
OE = OF (chứng minh trên)
Do đó ∆AEO = ∆AFO (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {OAE} = \widehat {OAF}\) (hai góc tương ứng).
Vậy AO là tia phân giác của góc MAN.
Danh sách bình luận