Đề bài

Cho góc bẹt \(xOy\) có tia phân giác \(Ot\). Trên tia \(Ot\) lấy hai điểm \(A, B\) (\(A\) nằm giữa \(O\) và \(B\)). Lấy điểm \(C \in Ox\) sao cho \(OC = OB\), lấy điểm \(D \in Oy\) sao cho \(OD = OA\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).

Tính các góc của tam giác \(MON\).

Phương pháp giải

- Vẽ hình theo yêu cầu bài toán.

- Chứng minh \(\Delta AOC = \Delta DOB\). Suy ra \(AC = DB\) (hai cạnh tương ứng)

- Chứng minh \(\Delta ONB = \Delta OMC\). Suy ra \(OM = ON\) (hai cạnh tương ứng), \(\widehat {NOB} = \widehat {MOC}\) (hai góc tương ứng)

- Gọi \(P\) là trung điểm của \(NM\)

- Chứng minh \(\Delta NOP = \Delta MOP\). Suy ra \(\widehat {OMP} = \widehat {ONP}\) (hai cạnh tương ứng)

- Tính số đo các góc trong tam giác \(NOM\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì góc \(xOy\) bẹt có \(Ot\) là tia phân giác nên \(Ot \bot xy\).

Suy ra \(\widehat {COA} = \widehat {DOB} = 90^\circ \).

Xét \(\Delta AOC\) và \(\Delta DOB\) có:

\(OC = OB\) (giả thiết)

\(\widehat {COA} = \widehat {DOB} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

\(OA = OD\) (giả thiết)

Do đó \(\Delta AOC = \Delta DOB\)(c.g.c)

Suy ra \(AC = DB\) (hai cạnh tương ứng)

Do \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC, BD\)

Nên \(BN = DN = AM = CM\).

Xét \(\Delta ONB\) và \(\Delta OMC\) có:

\(BN = CM\) (chứng minh trên)

\(\widehat {DBO} = \widehat {ACO}\) (vì ∆AOC = ∆DOB)

\(OB = OC\) (giả thiết)

Do đó \(\Delta ONB = \Delta OMC\) (c.g.c)

Suy ra \(OM = ON\) (hai cạnh tương ứng), \(\widehat {NOB} = \widehat {MOC}\) (hai góc tương ứng)

Ta có \(\widehat {NOB} + \widehat {BOM} = \widehat {BOM} + \widehat {MOC} = 90^\circ \).

Gọi \(P\) là trung điểm của \(MN\).

Xét \(\Delta NOP\) và \(\Delta MOP\) có:

\(ON = OM\) (chứng minh trên)

\(NP = MP\) (vì \(P\) là trung điểm của \(MN\))

Cạnh \(OP\) chung

Do đó \(\Delta NOP = \Delta MOP\) (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {OMP} = \widehat {ONP}\) (hai cạnh tương ứng)

Do đó \(\widehat {OMN} = \widehat {ONM} = \frac{{180^\circ - \widehat {MON}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \).

Vậy các góc của tam giác MON là \(\widehat {MON} = 90^\circ ;\,\,\widehat {OMN} = 45^\circ ;\,\,\widehat {ONM} = 45^\circ \).