Cho góc bẹt \(xOy\) có tia phân giác \(Ot\). Trên tia \(Ot\) lấy hai điểm \(A, B\) (\(A\) nằm giữa \(O\) và \(B\)). Lấy điểm \(C \in Ox\) sao cho \(OC = OB\), lấy điểm \(D \in Oy\) sao cho \(OD = OA\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).
Tính các góc của tam giác \(MON\).
- Vẽ hình theo yêu cầu bài toán.
- Chứng minh \(\Delta AOC = \Delta DOB\). Suy ra \(AC = DB\) (hai cạnh tương ứng)
- Chứng minh \(\Delta ONB = \Delta OMC\). Suy ra \(OM = ON\) (hai cạnh tương ứng), \(\widehat {NOB} = \widehat {MOC}\) (hai góc tương ứng)
- Gọi \(P\) là trung điểm của \(NM\)
- Chứng minh \(\Delta NOP = \Delta MOP\). Suy ra \(\widehat {OMP} = \widehat {ONP}\) (hai cạnh tương ứng)
- Tính số đo các góc trong tam giác \(NOM\)
Vì góc \(xOy\) bẹt có \(Ot\) là tia phân giác nên \(Ot \bot xy\).
Suy ra \(\widehat {COA} = \widehat {DOB} = 90^\circ \).
Xét \(\Delta AOC\) và \(\Delta DOB\) có:
\(OC = OB\) (giả thiết)
\(\widehat {COA} = \widehat {DOB} = 90^\circ \) (chứng minh trên)
\(OA = OD\) (giả thiết)
Do đó \(\Delta AOC = \Delta DOB\)(c.g.c)
Suy ra \(AC = DB\) (hai cạnh tương ứng)
Do \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC, BD\)
Nên \(BN = DN = AM = CM\).
Xét \(\Delta ONB\) và \(\Delta OMC\) có:
\(BN = CM\) (chứng minh trên)
\(\widehat {DBO} = \widehat {ACO}\) (vì ∆AOC = ∆DOB)
\(OB = OC\) (giả thiết)
Do đó \(\Delta ONB = \Delta OMC\) (c.g.c)
Suy ra \(OM = ON\) (hai cạnh tương ứng), \(\widehat {NOB} = \widehat {MOC}\) (hai góc tương ứng)
Ta có \(\widehat {NOB} + \widehat {BOM} = \widehat {BOM} + \widehat {MOC} = 90^\circ \).
Gọi \(P\) là trung điểm của \(MN\).
Xét \(\Delta NOP\) và \(\Delta MOP\) có:
\(ON = OM\) (chứng minh trên)
\(NP = MP\) (vì \(P\) là trung điểm của \(MN\))
Cạnh \(OP\) chung
Do đó \(\Delta NOP = \Delta MOP\) (c.c.c)
Suy ra \(\widehat {OMP} = \widehat {ONP}\) (hai cạnh tương ứng)
Do đó \(\widehat {OMN} = \widehat {ONM} = \frac{{180^\circ - \widehat {MON}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \).
Vậy các góc của tam giác MON là \(\widehat {MON} = 90^\circ ;\,\,\widehat {OMN} = 45^\circ ;\,\,\widehat {ONM} = 45^\circ \).
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho Hình 4.20, biết \(AB = CB, AD = CD,\widehat{DAB} = {90^\circ },\widehat{BDC} = {30^\circ }\)
a) Chứng minh rằng \(\Delta ABD = \Delta CBD\).
b) Tính \(\widehat {ABC}\).
Cho Hình 4.25, biết \(\widehat {DAC} = {60^\circ },AB = AC,DB = DC\). Hãy tính \(\widehat {DAB}\).
Cho tia Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy các điểm A,B,C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho \(\widehat {CAO} = \widehat {CBO}.\)
a) Chứng minh rằng \(\Delta OAC = \Delta OBC\).
b) Lấy điểm \(M\) trên tia đối của tia CO. Chứng minh rằng \(\Delta MAC = \Delta MBC\).
Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm A, C. Trên tia Oy lấy hai điểm B, D sao cho OA = OB, OC = OD.
a) Chứng minh: AD = BC.
b) Gọi E là giao điểm AD và BC. Chứng minh OE là tia phân giác của góc xOy
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, \(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\). Chứng minh rằng:
a) E là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD.
b) \(\Delta ACD = \Delta CAB\)
c) AD song song với BC.
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, \(\widehat {ADE} = \widehat {BCE}\). Chứng minh rằng:
a) \(\widehat {DAC} = \widehat {CBD}\)
b) \(\Delta AED = \Delta BEC.\)
c) \(AB//DC\)
Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (h.4.28)
a) Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và EF. Chứng minh rằng
AM = DN.
b) Trên hai cạnh AC và DF lấy 2 điểm P và Q sao cho BP, EQ lần lượt là phân giác của các góc ABC và DEF. Chứng minh rằng
BP = EQ.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng cạnh BC và EF của hai tam giác ABC và DEF. Giả sử rằng AB = DE, BC = EF, AM = DN (H.4.29). Chứng minh rằng \(\Delta ABC = \Delta DEF\)
Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như H4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OC, OB = OD như hình vẽ.
a) Hãy tìm hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau.
b) Chứng minh rằng \(\Delta DAB = \Delta BCD\).
Cho hình vẽ dưới đây. Biết đường thẳng AD song song với đường thẳng BC, AD = BC. Chứng minh rằng AB song song với CD.
Cho năm điểm A, B,C,D,O như hình vẽ. Biết rằng OA = OB, OC = OD.
a) Chứng minh rằng AC=BD.
b) Chứng minh rằng \(\Delta ACD = \Delta BDC\)
Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong Hình 13 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào.
Hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 14a,b) có bằng nhau không? Vì sao?
Quan sát Hình 23 rồi thay dấu ? bằng tên tam giác thích hợp.
a) \( \Delta ABE = ?\)
b) \( \Delta EAB = ?\)
c) \( ? = \Delta CDE\)
Cho góc xOy. Lấy hai điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy hai điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:
a) AD = BC
b) \(\Delta EAB=\Delta ECD\)
c) OE là tia phân giác của góc xOy.
Cho Hình 142 có O là trung điểm của đoạn thẳng AB và O nằm giữa hai điểm M, N. Chứng minh:
a) Nếu OM = ON thì AM // BN;
b) Nếu AM // BN thì OM = ON.
