Đề bài

Cho \(A = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{{2012}^2}}} + \frac{1}{{{{2013}^2}}}\). Chứng tỏ \(A < 1\)

Phương pháp giải

- Đặt \(B = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{2011.2012}} + \frac{1}{{2012.2013}}\)

- So sánh \(A\) và \(B\), do hai phân số cùng tử nên mẫu số nào lớn hơn thì số đó nhỏ hơn.

- Để so sánh \(B\) với \(1\), ta biến đổi và rút gọn biểu thức \(B\)

- Biến đổi tử số sao cho xuất hiện hiệu của hai số ở dưới mẫu, sau đó áp dụng:

\(\frac{{a - b}}{{a.b}} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}\)

- Áp dụng tính chất bắc cầu: Nếu \(A<B\) và \(B<C\) thì ta suy ra được \(A<C\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(A = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{{2012}^2}}} + \frac{1}{{{{2013}^2}}}\)

Đặt \(B = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{2011.2012}} + \frac{1}{{2012.2013}}\)

Vì \(2 > 1\) nên \(2.2 > 2.1\)

Suy ra \(\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2.2}} < \frac{1}{{1.2}}\)

Tương tự: \(\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3.3}} < \frac{1}{{2.3}}\)

\(\begin{array}{l}....\\\frac{1}{{{{2022}^2}}} = \frac{1}{{2022.2022}} < \frac{1}{{2021.2022}}\\\frac{1}{{{{2023}^2}}} = \frac{1}{{2023.2023}} < \frac{1}{{2022.2023}}\end{array}\)

Do đó \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{{2012}^2}}} + \frac{1}{{{{2013}^2}}} < \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{2011.2012}} + \frac{1}{{2012.2013}}\)

Suy ra \(A < B\)

Mà \(B = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{2011.2012}} + \frac{1}{{2012.2013}}\)

\(\begin{array}{l} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2012}} - \frac{1}{{2013}}\\ = 1 - \frac{1}{{2013}}\end{array}\)

Mà \(1 - \frac{1}{{2013}} < 1\)

Do đó \(B < 1\)

Suy ra \(A < B < 1\)

Vậy \(A < 1\).