Đề bài

Trong Hình 76, cho biết các tam giác ABD và BCE là tam giác đều và A, B, C thẳng hàng. Chứng minh rằng:

 

a) AD // BE và BD // CE;

b) \(\widehat {ABE} = \widehat {DBC} = 120^\circ \);

c) AE = CD.

Phương pháp giải

a) Ta chứng minh AD // BE và BD // CE dựa vào các cặp góc bằng nhau ở vị trí đồng vị.

b) Chứng minh \(\widehat {ABE} = \widehat {DBC} = 120^\circ \) dựa vào số đo góc của ba điểm thẳng hàng là 180°.

c) Chứng minh AE = CD bằng cách chứng minh tam giác ABE bằng tam giác DBC

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)

Tam giác ABD và BCE là tam giác đều nên \(\widehat {EBC} = \widehat {DAB} = 60^\circ \)

Vì A, B, C thẳng hàng nên \(\widehat {DAB}= \widehat {DAC}\) suy ra \(\widehat {EBC} = \widehat {DAB}\).

Mà góc EBC và góc DAC ở vị trí đồng vị nên AD // BE.

Tam giác ABD và BCE là tam giác đều nên \(\widehat {DBA} = \widehat {ECB} = 60^\circ \)

Vì A, B, C thẳng hàng nên  \(\widehat {ECB}= \widehat {ECA}\) suy ra \(\widehat {DBA} = \widehat {ECB}\).

Mà góc DBA và góc ECA ở vị trí đồng vị nên BD // CE.

b) Ta có A, B, C thẳng hàng nên góc ABC bằng 180°. Mà \(\widehat {DBA} = \widehat {EBC} = 60^\circ  \Rightarrow \widehat {DBE} = 60^\circ \).

Vậy \(\widehat {ABE} = \widehat {DBC} = 120^\circ \) (\(\widehat {ABE} = \widehat {DBA} + \widehat {DBE};\widehat {DBC} = \widehat {DBE} + \widehat {EBC}\)).

c) Tam giác ABD và BCE là tam giác đều 

\(\Rightarrow AB=AD, BE=BC\)

Xét hai tam giác ABE và DBC có:

     AB = DB;

     \(\widehat {ABE} = \widehat {DBC} = 120^\circ \);

     BE = BC.

\(\Rightarrow \Delta ABE = \Delta DBC\) (c.g.c)

Do đó, AE = DC ( 2 cạnh tương ứng).

\(\widehat {ABE} = \widehat {DBC} = 120^\circ \)