Đề bài

Cho \(S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}\).

So sánh \(S\) với \(1\).

Phương pháp giải

- Ta nhận thấy ở mẫu có số \(2\) nên ta tính \(2S\).

- Để tính \(2S\) ta áp dụng công thức: \({a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\) và \({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\)

- Tính \(S\) bằng cách lấy \(2S-S\), sau đó ta rút gọn và so sánh \(S\) với 1.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Theo đề, ta có:

\(S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}\)

Suy ra \(2S = 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}} \right)\)

\(\begin{array}{l}2S = \frac{2}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{2}{{{2^3}}} + ... + \frac{2}{{{2^{2022}}}}\\2S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2021}}}}\end{array}\)

Suy ra \(S = 2S - S\)

\(\begin{array}{l}S = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2021}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}}} \right)\\S = 1 - \frac{1}{{{2^{2022}}}}\end{array}\)

Suy ra \(1 - \frac{1}{{{2^{2022}}}} < 1\)

Vậy \(S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2022}}}} < 1\)