Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và SA = a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC và SD. Tính khoảng cách giữa AM và NP.

Phương pháp giải

Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cách 1: Dựng đường vuông góc chung.

Cách 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song với đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

M là trung điểm của SB, N là trung điểm của SC

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của \(\Delta SBC\).

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow MN\parallel BC\\BC \bot CD\end{array} \right\} \Rightarrow MN \bot CD\).

Mà \(CD\parallel NP \Rightarrow MN \bot NP\) (1)

\(\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

Mà \(MN\parallel BC \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow MN \bot AM\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow d\left( {AM,NP} \right) = MN = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}\).