Đề bài

Cho đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(b\) là đường thẳng không thuộc \(\left( P \right)\) và không vuông góc với \(\left( P \right)\). Lấy hai điểm \(A,B\) trên \(b\) và gọi \(A',B'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) và \(B\) trên \(\left( P \right)\).

a) Xác định hình chiếu \(b'\) của \(b\) trên \(\left( P \right)\).

b) Cho \(a\) vuông góc với \(b\), nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:

i) đường thẳng \(a\) và \(mp\left( {b,b'} \right)\);

ii) hai đường thẳng \(a\) và \(b'\).

c) Cho \(a\) vuông góc với \(b'\), nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:

i) đường thẳng \(a\) và \(mp\left( {b,b'} \right)\);

ii) giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\).

Phương pháp giải

Sử dụng định lí: Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau \(a\) và \(b\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) thì \(d \bot \left( \alpha  \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có: \(AA' \bot \left( P \right),BB' \bot \left( P \right),A,B \in b\)

Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(b\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) là đường thẳng \(A'B'\).

Vậy \(b' \equiv A'B'\).

b) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AA' \bot \left( P \right) \Rightarrow AA' \bot a\\a \bot b\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot mp\left( {b,b'} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}a \bot mp\left( {b,b'} \right)\\b' \subset mp\left( {b,b'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot b'\)

c) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AA' \bot \left( P \right) \Rightarrow AA' \bot a\\a \bot b'\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot mp\left( {b,b'} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}a \bot mp\left( {b,b'} \right)\\b \subset mp\left( {b,b'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot b\)