Đề bài

Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {OBC} \right)\) và có \(A',B',C'\) lần lượt là trung điểm của \(OA,AB,AC\). Vẽ \(OH\) là đường cao của tam giác \(OBC\). Chứng minh rằng:

a) \(OA \bot \left( {A'B'C'} \right)\);

b) \(B'C' \bot \left( {OAH} \right)\).

Phương pháp giải

Sử dụng các định lí:

‒ Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

‒ Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có: \(A'\) là trung điểm của \(OA\)

\(B'\) là trung điểm của \(AB\)

\( \Rightarrow A'B'\) là đường trung bình của \(\Delta OAB\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow A'B'\parallel OB\\OB \subset \left( {OBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A'B'\parallel \left( {OBC} \right)\)

\(B'\) là trung điểm của \(AB\)

\(C'\) là trung điểm của \(AC\)

\( \Rightarrow B'C'\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow B'C'\parallel BC\\BC \subset \left( {OBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow B'C'\parallel \left( {OBC} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}A'B'\parallel \left( {OBC} \right)\\B'C'\parallel \left( {OBC} \right)\\A'B',B'C' \subset \left( {A'B'C'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {A'B'C'} \right)\parallel \left( {OBC} \right)\)

Lại có \(OA \bot \left( {OBC} \right)\)

Vậy \(OA \bot \left( {A'B'C'} \right)\).

b) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\\OH \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right)\)

Lại có \(BC\parallel B'C'\)

Vậy \(B'C' \bot \left( {OAH} \right)\).