Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông với \(AB\) là cạnh góc vuông và có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Cho \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SB,AB,CD,SC\). Chứng minh rằng:

a) \(AB \bot \left( {MNPQ} \right)\);

b) \(MQ \bot \left( {SAB} \right)\).

Phương pháp giải

Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có: \(M\) là trung điểm của \(SB\)

\(Q\) là trung điểm của \(SC\)

\( \Rightarrow MQ\) là đường trung bình của \(\Delta SBC\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow MQ\parallel BC\\BC \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow MQ \bot AB\)

\(M\) là trung điểm của \(SB\)

\(N\) là trung điểm của \(AB\)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của \(\Delta SAB\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow MN\parallel SA\\SA \bot \left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow MN \bot AB\)

\(\left. \begin{array}{l}AB \bot MQ\\AB \bot MN\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {MNPQ} \right)\)

b) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)

Lại có \(MQ\parallel BC\).

Vậy \(MQ \bot \left( {SAB} \right)\).