Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có 6 mặt đều là hình vuông. \(M,N,E,F\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(BC,BA,AA',A'D'\). Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

a) \(MN\) và \(DD'\);

b) \(MN\) và \(CD'\);

c) \(EF\) và \(CC'\).

Phương pháp giải

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\):

Bước 1: Lấy một điểm \(O\) bất kì.

Bước 2: Qua điểm \(O\) dựng đường thẳng \(a'\parallel a\) và đường thẳng \(b'\parallel b\).

Bước 3: Tính \(\left( {a,b} \right) = \left( {a',b'} \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

 

a) Ta có: \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(N\) là trung điểm của \(AB\)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)

\( \Rightarrow MN\parallel AC\), mà \(DD'\parallel AA'\)

\( \Rightarrow \left( {MN,DD'} \right) = \left( {AC,AA'} \right) = \widehat {A'AC} = {90^ o }\).

b) Ta có: \(MN\parallel AC\)

\( \Rightarrow \left( {MN,CD'} \right) = \left( {AC,CD'} \right) = \widehat {ACD'}\).

Vì \(ABCD,ADD'A',CDD'C'\) là các hình vuông bằng nhau nên các đường chéo của chúng bằng nhau. Vậy \(AC = AD' = CD'\).

\( \Rightarrow \Delta ACD'\) là tam giác đều \( \Rightarrow \widehat {ACD'} = {60^ o }\).

Vậy \(\left( {MN,CD'} \right) = {60^ o }\).

c) Tương tự, câu a), \(EF\) là đường trung bình tam giác \(AA’D’\) nên \(EF \parallel AD’\).

Mặt khác, \(CC’ \parallel DD’\).

\(\Rightarrow \left( {EF,CC'} \right) = \left( {AD’,DD'} \right) = \widehat {AD’D} = {45^ o }\).