Đề bài

Cho \(P = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2x + 1}}{{1 - {x^3}}}\) với \(x \ne 1.\)

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

b) Tính giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = 2.\)

c) Chứng minh \(P > 0\) với \(x > 0,\,x \ne 1.\)

Phương pháp giải

a) Sử dụng quy tắc cộng các phân thức khác mẫu thức.

b) Thay \(x = 2\) vào biểu thức sau khi rút gọn ở ý a để tính.

c) Chứng minh với \(x > 0,\,x \ne 1\) thì tử thức và mẫu thức của \(P\) đều lớn hơn 0.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Với \(x \ne 1\) ta có:

\(P = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2x + 1}}{{1 - {x^3}}}\)

\( = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{2x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 + x\left( {x - 1} \right) - 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 + {x^2} - x - 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2{x^2} - 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\).

b) Với \(x = 2\) (thỏa mãn) thay vào biểu thức \(P\) ta được: \(P = \frac{{2 \cdot 2}}{{{2^2} + 2 + 1}} = \frac{4}{7}.\)

c) Với \(x > 0,x \ne 1\) ta có:

⦁ \(2x > 0;\)

⦁ \({x^2} + x + 1 = {x^2} + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0.\)

Do đó \(P = \frac{{2x}}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}} > 0\).