Cho \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0.\) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + y + 2024.\)
Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng, hiệu hai bình phương.
Dựa vào kiến thức \(A.B \le 0\) thì A và B trái dấu để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P.
Ta có: \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\)
\(\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 6\left( {x + y} \right) + 9 + {y^2} - 1 = 0\)
\({\left( {x + y} \right)^2} + 6\left( {x + y} \right) + 9 - 1 = - {y^2}\)
\({\left( {x + y + 3} \right)^2} - 1 = - {y^2}\)
\(\left( {x + y + 3 - 1} \right)\left( {x + y + 3 + 1} \right) = - {y^2}\)
\(\left( {x + y + 2} \right)\left( {x + y + 4} \right) = - {y^2}\)
\(\left( {x + y + 2024 - 2022} \right)\left( {x + y + 2024 - 2020} \right) = - {y^2}\)
\(\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) = - {y^2}\)
\(\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) = - {y^2}\)
Mà \({y^2} \ge 0\) nên \( - {y^2} \le 0\) với mọi \(y\)
Do đó \(\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) \le 0\) \(\left( * \right)\)
Lại có \(\left( {P - 2020} \right) - 2 < P - 2020\) hay \(P - 2022 < P - 2020\)
Suy ra \(\left( * \right)\) xảy ra khi \(P - 2022 \le 0 \le P - 2020\)
Nên \(2020 \le P \le 2022\)
Vậy GTLN của \(P\) bằng 2022 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 0\end{array} \right.\);
GTNN của \(P\) bằng 2020 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 4 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 0\end{array} \right.\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Thay 
bằng biểu thức thích hợp.
a) \(\left( {x - 3y} \right)\left( {x + 3y} \right) = {x^2} - ?\);
b) \(\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right) = 4? - {y^2}\);
c) \({x^2} + 8xy + ? = {\left( {? + 4y} \right)^2}\);
d) \(? - 12xy + 9{y^2} = {\left( {2x - ?} \right)^2}\).
Tính nhanh:
a) \(54.66\);
b) \({203^2}\).
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) \({x^2} + 4x + 4\)
b) \(16{a^2} - 16ab + 4{b^2}\)
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \({\left( {x - 3y} \right)^2} - {\left( {x + 3y} \right)^2}\)
b) \({\left( {3x + 4y} \right)^2} + {\left( {4x - 3y} \right)^2}\)
Rút gọn biểu thức
\({\left( {x - y} \right)^3} + {\left( {x + y} \right)^3}\).
Khai triển:
a) \({\left( {{x^2} + 2y} \right)^3}\);
b) \({\left( {\dfrac{1}{2}x - 1} \right)^3}\).
Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu.
a) \(27 + 54x + 36{x^2} + 8{x^3}\).
b) \(64{x^3} - 144{x^2}y + 108x{y^2} - 27{y^3}\).
Tính nhanh giá trị của biểu thức:
a) \({x^3} + 9{x^2} + 27x + 27\) tại x=7.
b) \(27 - 54x + 36{x^2} - 8{x^3}\) tại x=6,5.
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \({\left( {x - 2y} \right)^3} + {\left( {x + 2y} \right)^3}\)
b) \({\left( {3x + 2y} \right)^3} + {\left( {3x - 2y} \right)^3}\)
Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hay hiệu hai lập phương:
a) \(\left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} - 4x + 16} \right)\);
b) \(\left( {4{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)\left( {2x - y} \right)\)
Thay ? bằng biểu thức thích hợp.
a) \({x^3} + 512 = \left( {x + 8} \right)\left( {{x^2} - ? + 64} \right)\);
b) \(27{x^3} - 8{y^3} = \left( {? - 2y} \right)\left( {? + 6xy + 4{y^2}} \right)\).
Viết các đa thức sau dưới dạng tích:
a) \(27{x^3} + {y^3}\);
b) \({x^3} - 8{y^3}\).
Rút gọn biểu thức sau:
\(\left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 4{y^2}} \right) + \left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - 2xy + 4{y^2}} \right)\).
Tính nhanh giá trị của các biểu thức:
a) \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\) tại x=99.
b) \({x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}\) tại x=88 và y=-12.
Rút gọn biểu thức sau:
a) \({\left( {x - 2} \right)^3} + {\left( {x + 2} \right)^3} - 6x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\)
b) \({\left( {2x - y} \right)^3} + {\left( {2x + y} \right)^3}\).
Rút gọn biểu thức \(A = {\left( {2x + 1} \right)^3} - 6x\left( {2x + 1} \right)\) ta được
A. \({x^3} + 8\)
B. \({x^3} + 1\)
C. \(8{x^3} + 1\)
D. \(8{x^3} - 1\)
Tính nhanh giá trị của các biểu thức:
a) \({x^2} - 4x + 4\) tại x=102.
b) \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\) tại x=999.
a) Ba bạn An, Mai và Bình viết biểu thức biểu thị tổng diện tích \(S\) của các phần tô màu trong Hình 1 như sau:
Kết quả của mỗi bạn có đúng không? Giải thích.
b) Thực hiện phép nhân và rút gọn đa thức của bạn An.
c) Bằng cách làm tương tự ở câu b), có thể biến đổi biểu thức \({\left( {a - b} \right)^2}\) thành biểu thức nào?
Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) \({a^2} + 10ab + 25{b^2}\)
b) \(1 + 9{a^2} - 6a\)
Tính nhanh:
a) \({52^2}\)
b) \({98^2}\)
a) Một mảnh vườn hình vuông có cạnh \(10\)m được mở rộng cả hai cạnh thêm \(x\) (m) như Hình 2a. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng.
b) Một mảnh vườn hình vuông sau khi mở rộng mỗi cạnh \(5\)m thì được một mảnh vườn hình vuông có cạnh là \(x\) (m) như Hình 2b. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng.
Tính:
a) \({\left( {x + 2y} \right)^3}\)
b) \({\left( {3y - 1} \right)^3}\)
Hoàn thành các phép nhân đa thức sau vào vở, thu gọn kết quả nhận được:
\(\begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^3} = \left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {a + b} \right)\left( {...} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = ...\end{array}\) \(\begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^3} = \left( {a - b} \right){\left( {a - b} \right)^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {a - b} \right)\left( {...} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = ...\end{array}\)
Sử dụng quy tắc chuyển vế và các tính chất của phép toán, hoàn thành các biến đổi sau vào vở:
\(\begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\\{a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {a + b} \right)\left( {...} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = ...\end{array}\) \(\begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}\\{a^3} - {b^3} = {\left( {a - b} \right)^3} + 3{a^2}b - 3a{b^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {\left( {a - b} \right)^3} + 3ab\left( {a - b} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {a - b} \right)\left( {...} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = ...\end{array}\)
Viết các đa thức sau dưới dạng tích:
a) \(8{y^3} + 1\)
b) \({y^3} - 8\)
Tính:
a) \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\)
b) \(\left( {2x - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {4{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} \right)\)
Tính:
a) \({\left( {3x + 4} \right)^2}\)
b) \({\left( {5x - y} \right)^2}\)
c) \({\left( {xy - \dfrac{1}{2}y} \right)^2}\)
Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) \({x^2} + 2x + 1\)
b) \(9 - 24x + 16{x^2}\)
c) \(4{x^2} + \dfrac{1}{4} + 2x\)
a) Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng \(2x + 3\) dưới dạng đa thức
b) Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng \(3x - 2\) dưới dạng đa thức.
Tính nhanh:
a) \(38.42\) b) \({102^2}\) c) \({198^2}\) d) \({75^2} - {25^2}\)
