Đề bài

Cho \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0.\) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + y + 2024.\)

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng, hiệu hai bình phương.

Dựa vào kiến thức \(A.B \le 0\) thì A và B trái dấu để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\)

\(\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 6\left( {x + y} \right) + 9 + {y^2} - 1 = 0\)

\({\left( {x + y} \right)^2} + 6\left( {x + y} \right) + 9 - 1 =  - {y^2}\)

\({\left( {x + y + 3} \right)^2} - 1 =  - {y^2}\)

\(\left( {x + y + 3 - 1} \right)\left( {x + y + 3 + 1} \right) =  - {y^2}\)

\(\left( {x + y + 2} \right)\left( {x + y + 4} \right) =  - {y^2}\)

\(\left( {x + y + 2024 - 2022} \right)\left( {x + y + 2024 - 2020} \right) =  - {y^2}\)

\(\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) =  - {y^2}\)

\(\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) =  - {y^2}\)

Mà \({y^2} \ge 0\) nên \( - {y^2} \le 0\) với mọi \(y\)

Do đó \(\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) \le 0\) \(\left( * \right)\)

Lại có \(\left( {P - 2020} \right) - 2 < P - 2020\) hay \(P - 2022 < P - 2020\)

Suy ra \(\left( * \right)\) xảy ra khi \(P - 2022 \le 0 \le P - 2020\)

Nên \(2020 \le P \le 2022\)

Vậy GTLN của \(P\) bằng 2022 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 0\end{array} \right.\);

GTNN của \(P\) bằng 2020 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 4 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 0\end{array} \right.\).

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Thay  bằng biểu thức thích hợp.

a)      \(\left( {x - 3y} \right)\left( {x + 3y} \right) = {x^2} - ?\);

b)      \(\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right) = 4? - {y^2}\);

c)      \({x^2} + 8xy + ? = {\left( {? + 4y} \right)^2}\);

d)      \(? - 12xy + 9{y^2} = {\left( {2x - ?} \right)^2}\).

Xem lời giải >>
Bài 2 :

Tính nhanh:

a)      \(54.66\);

b)      \({203^2}\).

Xem lời giải >>
Bài 3 :

Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a)      \({x^2} + 4x + 4\)

b)      \(16{a^2} - 16ab + 4{b^2}\)

Xem lời giải >>
Bài 4 :

Rút gọn các biểu thức sau:

a)      \({\left( {x - 3y} \right)^2} - {\left( {x + 3y} \right)^2}\)

b)      \({\left( {3x + 4y} \right)^2} + {\left( {4x - 3y} \right)^2}\)

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Rút gọn biểu thức

\({\left( {x - y} \right)^3} + {\left( {x + y} \right)^3}\).

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Khai triển:

a)      \({\left( {{x^2} + 2y} \right)^3}\);

b)      \({\left( {\dfrac{1}{2}x - 1} \right)^3}\).

Xem lời giải >>
Bài 7 :

Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu.

a)      \(27 + 54x + 36{x^2} + 8{x^3}\).

b)      \(64{x^3} - 144{x^2}y + 108x{y^2} - 27{y^3}\).

Xem lời giải >>
Bài 8 :

Tính nhanh giá trị của biểu thức:

a)      \({x^3} + 9{x^2} + 27x + 27\) tại x=7.

b)      \(27 - 54x + 36{x^2} - 8{x^3}\) tại x=6,5.

Xem lời giải >>
Bài 9 :

Rút gọn các biểu thức sau:

a)      \({\left( {x - 2y} \right)^3} + {\left( {x + 2y} \right)^3}\)

b)      \({\left( {3x + 2y} \right)^3} + {\left( {3x - 2y} \right)^3}\)

Xem lời giải >>
Bài 10 :

Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hay hiệu hai lập phương:

a)      \(\left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} - 4x + 16} \right)\);

b)      \(\left( {4{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)\left( {2x - y} \right)\)

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Thay ? bằng biểu thức thích hợp.

a)      \({x^3} + 512 = \left( {x + 8} \right)\left( {{x^2} - ? + 64)} \right)\);

b)      \(27{x^3} - 8{y^3} = \left( {? - 2y} \right)\left( {? + 6xy + 4{y^2}} \right)\).

Xem lời giải >>
Bài 12 :

Viết các đa thức sau dưới dạng tích:

a)      \(27{x^3} + {y^3}\);

b)      \({x^3} - 8{y^3}\).

Xem lời giải >>
Bài 13 :

Rút gọn biểu thức sau:

\(\left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 4{y^2}} \right) + \left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - 2xy + 4{y^2}} \right)\).

Xem lời giải >>
Bài 14 :

Tính nhanh giá trị của các biểu thức:

a)      \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\) tại x=99.

b)      \({x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}\) tại x=88 và y=-12.

Xem lời giải >>
Bài 15 :

Rút gọn biểu thức sau:

a)      \({\left( {x - 2} \right)^3} + {\left( {x + 2} \right)^3} - 6x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\)

b)      \({\left( {2x - y} \right)^3} + {\left( {2x + y} \right)^3}\).

Xem lời giải >>
Bài 16 :

Rút gọn  biểu thức \(A = {\left( {2x + 1} \right)^3} - 6x\left( {2x + 1} \right)\) ta được

A. \({x^3} + 8\)

B. \({x^3} + 1\)

C. \(8{x^3} + 1\)

D. \(8{x^3} - 1\)

Xem lời giải >>
Bài 17 :

Tính nhanh giá trị của các biểu thức:

a)      \({x^2} - 4x + 4\) tại x=102.

b)      \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\) tại x=999.

Xem lời giải >>
Bài 18 :

a) Ba bạn An, Mai và Bình viết biểu thức biểu thị tổng diện tích \(S\) của các phần tô màu trong Hình 1 như sau:

 

Kết quả của mỗi bạn có đúng không? Giải thích.

b) Thực hiện phép nhân và rút gọn đa thức của bạn An.

c) Bằng cách làm tương tự ở câu b), có thể biến đổi biểu thức \({\left( {a - b} \right)^2}\) thành biểu thức nào?

Xem lời giải >>
Bài 19 :

Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) \({a^2} + 10ab + 25{b^2}\)                                               

b) \(1 + 9{a^2} - 6a\)

Xem lời giải >>
Bài 20 :

Tính nhanh:

a) \({52^2}\)                                                               

b) \({98^2}\)

Xem lời giải >>
Bài 21 :

a) Một mảnh vườn hình vuông có cạnh \(10\)m được mở rộng cả hai cạnh thêm \(x\) (m) như Hình 2a. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng.

b) Một mảnh vườn hình vuông sau khi mở rộng mỗi cạnh \(5\)m thì được một mảnh vườn hình vuông có cạnh là \(x\) (m) như Hình 2b. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng.

 

Xem lời giải >>
Bài 22 :

Tính:

a) \({\left( {x + 2y} \right)^3}\)                                             

b) \({\left( {3y - 1} \right)^3}\)

Xem lời giải >>
Bài 23 :

Hoàn thành các phép nhân đa thức sau vào vở, thu gọn kết quả nhận được:

\(\begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^3} = \left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {a + b} \right)\left( {...} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = ...\end{array}\)                                   \(\begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^3} = \left( {a - b} \right){\left( {a - b} \right)^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {a - b} \right)\left( {...} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = ...\end{array}\)

Xem lời giải >>
Bài 24 :

Sử dụng quy tắc chuyển vế và các tính chất của phép toán, hoàn thành các biến đổi sau vào vở:

\(\begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\\{a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {a + b} \right)\left( {...} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = ...\end{array}\)                      \(\begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}\\{a^3} - {b^3} = {\left( {a - b} \right)^3} + 3{a^2}b - 3a{b^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {\left( {a - b} \right)^3} + 3ab\left( {a - b} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {a - b} \right)\left( {...} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = ...\end{array}\)

Xem lời giải >>
Bài 25 :

Viết các đa thức sau dưới dạng tích:

a) \(8{y^3} + 1\)                                 

b) \({y^3} - 8\)

Xem lời giải >>
Bài 26 :

Tính:

a) \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\)                                             

b) \(\left( {2x - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {4{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} \right)\)

Xem lời giải >>
Bài 27 :

Tính:

a) \({\left( {3x + 4} \right)^2}\)                                 

b) \({\left( {5x - y} \right)^2}\)                                  

c) \({\left( {xy - \dfrac{1}{2}y} \right)^2}\)

Xem lời giải >>
Bài 28 :

Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) \({x^2} + 2x + 1\)              

b) \(9 - 24x + 16{x^2}\)                     

c) \(4{x^2} + \dfrac{1}{4} + 2x\)

Xem lời giải >>
Bài 29 :

a) Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng \(2x + 3\) dưới dạng đa thức

b) Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng \(3x - 2\) dưới dạng đa thức.

Xem lời giải >>
Bài 30 :

Tính nhanh:

a) \(38.42\)                               b) \({102^2}\)                          c) \({198^2}\)              d) \({75^2} - {25^2}\)

Xem lời giải >>