Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(a\sqrt {\frac{5}{{12}}} .\) Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Phương pháp giải

Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện [P, a, Q].

Lời giải của GV Loigiaihay.com

 

Vì hình chóp S.ABC đều, gọi G là hình chiếu của S trên (ABC) nên G là tâm của đáy ABC là tam giác đều do đó G cũng là trọng tâm hay trực tâm của tam giác ABC.

Gọi AG cắt BC tại D

Ta có \(AG \bot BC,SG \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right);SD \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot SD\)

\(BC \bot AD\) (G là trực tâm)

\( \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \left( {AD,SD} \right) = \widehat {SDA}\)

Tam giác ABC đều cạnh a nên \(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Mà G là trọng tâm nên \(GD = \frac{1}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Xét tam giác SDC vuông tại D có

\(\begin{array}{l}S{D^2} + D{C^2} = S{C^2}\\ \Leftrightarrow S{D^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = {\left( {a\sqrt {\frac{5}{{12}}} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow S{D^2} = \frac{{{a^2}}}{6} \Leftrightarrow SD = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\end{array}\)

Xét tam giác SGD vuông tại G có

\(\cos \widehat {SGD} = \frac{{GD}}{{SD}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {SGD} = {45^0}\)

Vậy số đo của góc nhị diện [S, BC, A] bằng 45⁰.