Đề bài

Cho hình chóp đều S.A₁A₂...A_n. Một mặt phẳng không đi qua S và song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh SA₁, SA₂,.... SA_n, tương ứng tai B₁, B₂,..., B_n

a) Giải thích vì sao S. B₁B₂...B_n là một hình chóp đều.

b) Gọi H là tâm của đa giác A₁A₂...A_n. Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua tâm K của đa giác đều B₁B₂...B_n, và HK vuông góc với các mặt phẳng (A₁A₂...A_n), (B₁B₂...B_n)

Phương pháp giải

- Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

- Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì đường thẳng sẽ vuông góc với mọi mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

- Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng chỉ có duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vì mặt phẳng không đi qua S và song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh SA₁, SA₂,.... SA_n, tương ứng tại B₁, B₂,..., B_n nên theo định lý Talet trong từng tam giác SA₁A₂, …, SA_n-1A_n thì $\frac{{S{B_1}}}{{S{A_1}}} = \frac{{S{B_2}}}{{S{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{A_1}{A_2}}} = ... = \frac{{S{B_n}}}{{S{A_n}}}$ mà S.A₁A₂...A_n  là hình chóp đều nên S.B₁B₂...B_n cũng là một hình chóp đều.

b) Ta có $SH \bot \left( {{A_1}{A_2}...{A_n}} \right)$ (H là tâm của đa giác A₁A₂...A_n)

Mà $\left( {{A_1}{A_2}...{A_n}} \right)//\left( {{B_1}{B_2}...{B_n}} \right)$

$\Rightarrow$$SH \bot \left( {{B_1}{B_2}...{B_n}} \right)$

Mà $SK \bot \left( {{B_1}{B_2}...{B_n}} \right)$ (K là tâm của đa giác B₁B₂...B_n)

$\Rightarrow$ SH trùng SK

Vậy đường thẳng SH đi qua tâm K của đa giác đều B₁B₂...B_n, và HK vuông góc với các mặt phẳng (A₁A₂...A_n), (B₁B₂...B_n)